Álgebra Lineal Mora (100)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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Demostración
 1. ⇒ 2. Por defi nición de base, el conjunto {β1, β2, ..., βn} es linealmente indepen-
diente.
 2. ⇒ 3. Si {β1, β2, ..., βn} no genera, entonces existe un γ que no es combinación 
lineal de los β por lo que el conjunto {β1, β2, ..., βn, γ} es linealmente indepen-
diente y de esto se concluiría que hay un conjunto con n + 1 elementos en Rn 
que es linealmente independiente, contradiciendo al teorema 3.4.2.
 3. ⇒ 1. Solamente falta demostrar que el conjunto {β1, β2, ..., βn} es linealmente 
independiente. Si no fuese linealmente independiente uno de los β es combi-
nación lineal de los restantes y esos n � 1 restantes también generan a Rn, con-
tradiciendo que el mínimo número de generadores de Rn es n. 
El teorema anterior es muy útil para construir bases, pues lo que se debe hacer, co-
nociendo la dimensión del espacio, es proponer tantos elementos como la dimensión 
y verifi car que son linealmente independientes.
Ejemplo 3.4.2. Sabemos que los elementos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) son una base de 
R3; encuentre otra base que no incluya a los elementos anteriores.
Discusión. Por el teorema anterior debemos proponer un conjunto con tres ele-
mentos y verifi car que sea linealmente independiente. Podemos iniciar con cualquier 
vector no cero. Por ejemplo, proponemos al conjunto {(1, 1, 0)}, el cual es linealmente 
independiente. Como (1, 0, 1) no es múltiplo de (1, 1, 0), entonces el conjunto {(1, 1, 0), 
(1, 0, 1)} es linealmente independiente. Verifi caremos que el conjunto {(1, 1, 0), (1, 0, 
1), (0, 1, 1)} es linealmente independiente. Para tal efecto propongamos una combi-
nación lineal de sus elementos e igualémosla a cero, es decir, escribamos x(1, 1, 0) 	 
y(1, 0, l) 	 z(0, 1, 1) � (x 	 y, x 	 z, y 	 z) � (0, 0, 0). Esta ecuación equivale al sistema:
x 	 y � 0
x 	 z � 0
y 	 z � 0
que tiene solamente la solución (0, 0, 0), es decir, los vectores son una base de R3.
Por la importancia que tiene el teorema 2.2.2 lo enunciamos nuevamente, ane-
xando otra condición.
Teorema 3.4.4. Sea A una matriz n � n. Las siguientes condiciones son lógicamente 
equivalentes.
 1. La matriz A tiene inversa.
 2. La matriz A es equivalente por fi las a In.
 3. La matriz A es producto de matrices elementales.
 4. El sistema AX � 0 tiene solución única.
 5. Para todo B � 
b1
b2
bn
· ·
 · , el sistema AX � B tiene solución única.
 6. Las columnas de A, consideradas como elementos de Rn, son linealmente inde-
pendientes.
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