Álgebra Lineal Mora (23)

Vista previa del material en texto

Álgebra lineal
8
ma de m ecuaciones en n incógnitas? Para dar respuesta a estas preguntas iniciemos 
analizando el sistema a la luz de algunas propiedades que se tienen al “operar” con 
igualdades.
 1. Propiedad 1. Si los miembros de una ecuación se multiplican por un mismo nú-
mero, el resultado es otra ecuación.
 Ejemplo. Dada la ecuación 4x 	 2y � 2, al multiplicar por 1/2 se tiene 2x 	 
y � 1.
 2. Propiedad 2. Si se tienen dos ecuaciones y una de ellas se multiplica por un nú-
mero y se suma a la otra, el resultado es otra ecuación.
Ejemplo. Dadas las ecuaciones x 	 y � 3 y 3x 	 y � �1, al multiplicar a la prime-
ra por �3 y sumarla a la segunda se tiene �3(x 	 y) 	 (3x 	 y) � �3(3) 	 (�1). Esta 
ecuación equivale a �2y � �10.
La Propiedad 1 permite resolver ecuaciones del tipo ax � b, con a � 0, es decir, mul-
tiplicando por 
1
a
 se tiene: x � 
b
a
.
Apliquemos estas propiedades para analizar el sistema (1.11).
 20x1 	 21x2 	 19x3 � 1 250 (1.12)
 11x1 	 12x2 	 13x3 � 750 (1.13)
 9x1 	 8x2 	 8x3 � 520. (1.14)
Multiplicando la ecuación (1.13) por �20, la ecuación (1.12) por 11, sumando los 
resultados y simplifi cando se tiene:
 �9x2 � 51x3 � �1 250 (1.15)
Multiplicando la ecuación (1.14) por –20, la ecuación (1.12) por 9, sumando los re-
sultados y simplifi cando se tiene:
 29x2 	 11x3 � 850 (1.16)
Con las ecuaciones (1.15) y (1.16) formamos el sistema:
 9x2 	 51x3 � 1 250 (1.17)
 29x2 	 11x3 � 850 (1.18)
Multiplicando la ecuación (1.18) por �9, la ecuación (1.17) por 29, sumando los re-
sultados y simplifi cando se tiene:
x3 � 
1 430
69
Sustituyendo este valor de x3 en la ecuación (1.17), obtenemos 
9x2 	 51
1 430
69( ) � 1,250; de esta última ecuación llegamos a: 
9x2 � 1 250 �51 
1 430
69( ) � 86 250 � 72 93069 � 13 32069 � 4 44023 concluyendo que
x2 � 
1 480
69