Álgebra Lineal Mora (33)

Vista previa del material en texto

Álgebra lineal
18
Si i � 2 multiplicamos la fi la 2 de A1 por b2k
�1 y después de esto, para i � 2, multi-
plicamos la fi la 2 por �bik y la sumamos a la fi la i obteniendo la matriz:
A2 � 
0 · · · 1 0 c1k	1 · · · c1n
0 · · · 0 1 c2k	1 · · · c2n
 . . . . . . . . . . . · · . . . . . . . .
0 · · · 0 1 cmk	1 · · · cmn
 
Si i ≠ 2, intercambiamos la fi la dos con la i-ésima y aplicamos el procedimiento 
descrito.
Note que las primeras columnas de A2 están en forma escalonada. Continuando el 
proceso con A2, se concluye que termina en un número fi nito de etapas, produciendo 
una matriz en la forma deseada.
Ejemplo 1.3.6. Haga una discusión del tipo de soluciones que tiene el sistema de 
ecuaciones:
 x 	 2y 	 3z � �1
 2x 	 3z � 4
 �x 	 y 	 3z � 0
Discusión. Primeramente construimos la matriz aumentada del sistema; después 
la llevamos a forma escalonada reducida, y fi nalmente en esta matriz “leemos” el tipo 
de soluciones que tiene el sistema.
La matriz aumentada es:
B = 
 1 2 3 �1
 2 0 3 4
 �1 1 3 0
Aplicando operaciones elementales en las fi las de B se tiene la sucesión de matri-
ces que aparecen en las siguientes líneas. Identifi que el tipo de operaciones elemen-
tales efectuadas en cada caso. 
 1 2 3 �1
 2 0 3 4
 �1 1 3 0
 � 
1 2 3 �1
0 �4 �3 6
0 3 6 �1
 � 
1 2 3 �1
0 �4 �3 6
0 �1 3 5
 �
1 0 9 9
0 0 �15 �14
0 �1 3 5
 � 
1 0 9 9
0 0 1 14/15
0 �1 3 5
 � 
1 0 0 3/5
0 0 1 14/15
0 �1 0 11/5
 �
1 0 0 3/5
0 1 0 �11/15
0 0 1 14/5
De acuerdo con los cálculos efectuados, de esta última matriz se tiene que el sis-
tema de ecuaciones tiene solución única: C � (3/5, � 11/5, 14/15). Para tener certeza 
· · ·
· · ·
· · ·
· ·
 ·