Álgebra Lineal Mora (57)

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Álgebra lineal
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De estas observaciones se obtiene lo siguiente:
Teorema 2.2.1. Sea A una matriz n � n, E1, ..., Et matrices elementales tales que Et... 
E1A � R es la forma escalonada reducida de A. Entonces A tiene inversa ⇔ R � In y en este 
caso A–1 � Et . . . E1.
Demostración. Si R � In, claramente la inversa de A es Et · · · E1. Supongamos que 
A tiene inversa, entonces por la observación 2.2.3(1) y el hecho que las matrices ele-
mentales tienen inversa, ejercicio 2.2.1, se llega a que R = Et · · · E1A tiene inversa. Ahora 
aplicando la observación 2.2.3(2) se concluye que las fi las de R son diferentes de cero. 
La conclusión fi nal se obtiene de la observación 2.2.2.
El teorema 2.2.1 proporciona uno de los métodos más efi cientes para calcular la in-
versa de una matriz. En la siguiente sección presentaremos la justifi cación del método 
y algunos ejemplos.
2.2.1. Cálculo de la inversa de una matriz
Supongamos que A es una matriz n � n. Formemos la matriz de orden n � 2n cuyas 
primeras n columnas son las de A y las restantes son las de la identidad de orden n. Abu-
sando un poco de la notación, esta nueva matriz la representaremos por [A : In]. Si E1, ..., 
Et son matrices elementales tales que Et ... E1A � R, entonces al aplicar las operaciones 
elementales, representadas por las matrices E1, ..., Et, en las fi las de [A : In] terminaremos 
con la matriz [R : E1 ... Et]. Por el teorema 2.2.1, A tiene inversa ⇔ R � In y A
–1 es la matriz 
que aparece a la derecha en [R : E1 ... Et].
Ejemplo 2.2.1. Consideremos la matriz
A := 
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Determinaremos si tiene inversa y en caso afi rmativo, la encontraremos.
Discusión. Aplicación del método.
A partir de A y la identidad I3, formemos la matriz:
A1 :� 
1 4 7 1 0 0
2 5 8 0 1 0
3 6 9 0 0 1
Aplicando operaciones elementales en las fi las de A1 se obtiene sucesivamente.
A1 :� 
1 4 7 1 0 0
0 �3 �6 �2 1 0
3 6 9 0 0 1
 → A2 :� 
1 4 7 1 0 0
0 �3 �6 �2 1 0
0 �6 �12 �3 0 1
 →
A3 :� 
1 4 7 1 0 0
0 1 2 � 0
0 �6 �12 �3 0 1
2
3
1
3 → A4 :� 
1 4 7 1 0 0
0 1 2 � 0
0 0 0 1 �2 1
2
3
1
3 
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 2 Matrices
	2.2. Matrices elementales e inversas
	2.2.1. Cálculo de la inversa de una matriz