Álgebra Lineal Mora (64)

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Capítulo 2. Matrices
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40
1 2 3
4 5 6
7 8 9
15
20
10
Figura 2.3. Distribución de temperaturas 
en una placa delgada.
 
1 0 458 �662
0 0 1 036 �1 502
0 �1 11 �16
 
∼
 
1 0 458 �662
0 0 1 �751/518
0 �1 11 �16
 
∼
 
1 0 0 521/259
0 0 1 �751/518
0 1 0 27/518
 
∼ 
1 0 0 521/259
0 1 0 27/518
0 0 1 �751/518
La última matriz representa al sistema resuelto:
I1 � 
521
259
 Amps
I2 � 
27
518
 Amps
 I3 � �
751
518
 Amps
Dada la estructura del circuito, explique el signifi cado de los signos en las magnitu-
des de las corrientes.
Distribución de temperaturas en placas delgadas
Para hacer un análisis de la conducción de calor en un medio isotrópico y homogéneo, 
es necesario usar la ecuación de calor:
Ut � k(Uxx 	 Uyy 	 Uzz) (2.7)
en donde k es una constante que depende de la conductividad térmica, de la densidad 
y de la capacidad calorífi ca del material; Uxx, Uyy, y Uzz son la segunda derivada parcial 
de U respecto de x, y y z respectivamente y Ut es la derivada parcial de U respecto de t, 
que mide la variación de temperatura en el tiempo t.
El ejemplo que discutimos tiene otras hipótesis. Supongamos que se tiene una pla-
ca rectangular delgada como se muestra en la fi gura 2.3. Adicionalmente, asuma que 
se conocen las temperaturas en los bordes de la placa y la temperatura en cada uno de 
los nodos interiores de la malla es el promedio de las temperaturas de los puntos más 
cercanos. Por ejemplo, si denotamos por ti a la temperatura en el nodo i, para el caso 
i � 1 se tiene t1 � 
1
4
 (40 	 t2 	 t4 	 15).
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