Álgebra Lineal Mora (69)

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Álgebra lineal
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Iniciamos la discusión respecto a las soluciones, construyendo la matriz aumenta-
da del sistema, la cual resulta ser:
A � 
10 12 9 120
 7 8 7 90
 5 6 4 60
Una de las características importantes de esta matriz es que todas sus entradas son 
números enteros. De las condiciones del ejemplo se requiere que las soluciones, de 
existir, sean números enteros no negativos.
Recordemos que al aplicar operaciones elementales en las fi las de la matriz aumentada 
de un sistema, la matriz que resulta representa a un sistema equivalente, teorema 1.3.1, pá-
gina 13. Tomando esto como punto de referencia y dado que estamos buscando soluciones 
enteras, es de importancia considerar que en cada uno de los pasos del proceso para resol-
ver el sistema, se efectúen operaciones elementales que garanticen soluciones enteras.
Dado que una de las operaciones elementales consiste en multiplicar una fi la por 
una constante no cero, y las operaciones elementales tienen inversa, entonces los úni-
cos valores que podemos tomar para multiplicar una fi la son �1, pues éstos son los 
únicos enteros que tienen inverso multiplicativo.
En otras palabras, el tipo de operaciones elementales permitidas cuando se trate de 
matrices con entradas enteras son:
 1. Intercambiar dos fi las cualesquiera.
 2. Multiplicar una fi la por �1.
 3. Multiplicar una fi la por una constante y sumarla a otra.
Aplicaremos este tipo de operaciones a la matriz A para discutir las soluciones de 
(2.12). Pedimos al lector identifi car las operaciones efectuadas al pasar de una matriz a 
la siguiente.
10 12 9 120
 7 8 7 90
 5 6 4 60
 ∼ 
10 12 9 120
 2 2 3 30
 5 6 4 60
 ∼ 
0 0 1 0
2 2 3 30
5 6 4 60
 ∼ 
0 0 1 0
2 2 3 30
1 2 �2 0
 ∼
0 0 1 0
0 �2 7 30
1 2 �2 0
 ∼ 
0 0 1 0
0 �2 7 30
1 0 5 30
 ∼ 
0 0 1 0
0 �2 0 30
1 0 0 30
 ∼ 
1 0 0 30
0 2 0 �30
0 0 1 0
Notemos que la solución no tiene sentido desde el punto de vista de la pregunta plan-
teada, pues el valor de y es negativo y representa el número de máquinas del tipo 2. Sin 
embargo, algo de importancia que se debe notar respecto al tipo de operaciones elemen-
tales que se utilizaron en la discusión, es su “efectividad” para determinar las soluciones.
El ejemplo anterior y su discusión conducen a formular una serie de preguntas rela-
cionadas con soluciones de sistemas de ecuaciones con coefi cientes enteros.2
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 2 A las ecuaciones que tienen coefi cientes enteros o racionales se les llama ecuaciones diofánticas o diofantinas en honor 
al matemático de la antigua Grecia, Diofanto, quien vivió más o menos en los años 200-284 de nuestra era y fue uno de 
los primeros en estudiar de manera sistemática este tipo de ecuaciones. Algunos historiadores consideran a Diofanto el 
padre del Álgebra. Actualmente las ecuaciones diofantinas son una rama muy importante de la teoría de números. Un 
ejemplo de ecuaciones diofantinas es la muy famosa ecuación de Fermat: xn 	 yn � zn.