Álgebra Lineal Mora (71)

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Álgebra lineal
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 4. Sea A � 
a b
c d
 . Demuestre que A tiene inversa ⇔ ad � bc � 0. Si las entradas de 
A son enteros, entonces A�1 tiene entradas enteras ⇔ ad � bc � �1.
 5. Sean A y B matrices m � n y n � m respectivamente tales que AB � Im y BA � In. 
Demuestre que n � m.
 6. Sea A una matriz n � n.
 a) Suponga que existe k entero positivo tal que Ak � O. ¿Es posible que A tenga 
inversa?
 b) Para n � 2, 3, 4, 5, 6 construya ejemplos de matrices A � 0, tales que Ak � O 
para algún entero k 
 1.
 c) Suponga que existe k entero positivo tal que Ak � In. ¿Tiene inversa A?
 d) Encuentre ejemplos de matrices que satisfagan la parte c) y no sean la iden-
tidad.
 7. Sea A una matriz n � n que no es inversible. Demuestre que existe B matriz 
n � 1 tal que el sistema AX � B es inconsistente.
 8. Demuestre que las matrices elementales son inversibles.
 9. Sea A � 
1 0 �
0 � �
� 2 1
Determine los valores de � de manera que el sistema AX � 
1
2
3 a) Tenga solución única.
 b) Tenga infi nidad de soluciones.
 c) Sea inconsistente.
10. Sea A una matriz n � n. Demuestre que A no tiene inversa si y sólo si existe una 
matriz B, n � n no cero tal que AB � 0.
11. Sean P1, P2 y P3 tres puntos del plano cartesiano tales que cualesquiera dos no 
están en una línea vertical. Demuestre que hay un único polinomio de segun-
do grado cuya gráfi ca pasa por ellos. ¿Cuál debe ser la condición para que por 
cuatro puntos pase la gráfi ca de un único polinomio de grado tres? ¿Puede ge-
neralizar las situaciones anteriores al caso de n puntos?
12. Una matriz A, n � n, se dice triangular inferior (superior) si aij � 0 para todo i � j 
� n (aij � 0 para todo j � i � n). Sea A una matriz triangular inferior con entradas 
no cero en la diagonal. Demuestre que A tiene inversa y su inversa también es 
triangular inferior. ¿Se cumple lo mismo si A es triangular superior?
13. Sea X � 
x1
x2
xn
· ·
 · tal que xk � 0 para algún k. Se defi ne Mk � In � ΩEk, en donde 
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