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Capítulo 3. Espacios vectoriales 65 consiste en notar que los vectores (1, 2) y (2, 1) determinan a las rectas L1 : y � 2x y L : y � x 2 respectivamente. Para alcanzar el punto (a, b), partiendo del origen, puede uno desplazarse en direcciones paralelas a tales rectas hasta alcanzar dicho punto. Ver la fi gura 3.6. De acuerdo con la fi gura 3.6, el plano queda dividido en cuatro regiones que he- mos denotado R1, R2, R3 y R4. Sin resolver la ecuación x(1, 2) y(2, 1) � (a, b), podemos determinar los signos de x, y de manera que la satisfagan. 1. Para (a, b) ∈ R1, los valores de x, y son positivos. (x, y � 0) 2. Para (a, b) ∈ R2, se tiene x � 0 y y � 0. 3. Para (a, b) ∈ R3, ambos son negativos. (x, y � 0) 4. Para (a, b) ∈ R4, se tiene x � 0 y y � 0. En la discusión anterior, a un sistema de ecuaciones lo hemos representado como una sola ecuación. Esto se puede extender a cualquier sistema de ecuaciones, por ejem- plo, el sistema: a1x b1y � c1 (3.2) a2x b2y � c2 (3.3) lo podemos representar en la forma x(a1, a2) y(b1, b2) � (c1, c2) y esta ecuación tendrá solución exactamente cuando (c1, c2) sea combinación lineal de (a1, a2) y (b1, b2). Note que si c1 � c2 � 0 el sistema siempre tiene solución y cuando tiene más de una dire- mos que los vectores (a1, a2) y (b1, b2) son linealmente dependientes. En caso contrario diremos que son linealmente independientes . Dado que el concepto de independen- cia lineal es uno de los más importantes en álgebra lineal lo formulamos en una de- fi nición. 1 2 3 4 5 6 7 (a, b) L1 R1 x L R3 R4 R2 1 2 3 4 5 6 7 y �3 �2 �1 �1 �2 �3 Figura 3.6. Representación de x(1, 2) + y(2, 1) = (a, b). 65
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