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Capítulo 3. Espacios vectoriales 71 Usando las coordenadas de los vectores y la defi nición de norma, esta ecuación se puede escribir como: (a � x)2 (b � y)2 � x2 y2 a2 b2 � 2 x y a b2 2 2 2 cos(θ) Desarrollando los cuadrados y simplifi cando, la ecuación anterior conduce a: cos(θ) � ax by x y a b 2 2 2 2 (3.6) Notemos que la ecuación 3.6, establece que los vectores rα y r β son perpendicu- lares ⇔ ax by � 0, pues para 0 � θ � π, cos(θ) � 0 ⇔ θ � π 2 . Defi nición 3.3.3. Dados los vectores rα � (x, y) y r β � (a, b), se defi ne su producto interno como � rα , r β � :� xa yb. Con esta notación, y usando la ecuación 3.6, el ángulo θ entre dos vectores rα y r β se puede obtener a través de la ecuación: cos(θ) � � � �� r β �� �� rα �� , rα r β (3.7) De la discusión anterior, una pregunta natural será si hay una expresión análoga a la ecuación 3.7 para vectores en R3, es decir, si rα � (x, y, z) y r β � (a, b, c) son ele- mentos en R3, ¿cómo se determina el ángulo entre ellos? Puesto que si rα � (x, y, z) y r β � (a, b, c) son vectores en R3, éstos y el origen pertenecen a un mismo plano. Ver fi gura 3.10. ��� � � � Figura 3.10. Ángulo entre vectores en R3. Podemos proceder de manera análoga a lo que hicimos en R2 y aplicar la ley de los cosenos, es decir, se tiene: �� r β � rα ��2 � �� rα ��2 �� r β ��2 � 2�� rα �� �� r β �� cos(θ) Usando las coordenadas de α y β, así como la defi nición de norma de un vector, la ecuación anterior equivale a: (a � x)2 (b � y)2 (c � z)2 � x2 y2 z2 a2 b2 c2 � 2 2 2 2 2 2 2x y z a b c cos(θ) 71
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