Álgebra Lineal Mora (95)

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Álgebra lineal
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 b) ¿Cuáles son los puntos del plano que puede alcanzar “caminando” una uni-
dad en la dirección del vector (2, 1)?
 c) ¿Puede alcanzar cualquier punto del plano desplazándose en direcciones 
paralelas a las direcciones determinadas por los vectores (1, 2) y (2, 1)?
 d) ¿Cómo deben ser dos vectores en R2 para que se alcance cualquier punto del 
plano desplazándose en direcciones paralelas a ellos?
 2. Dada una circunferencia y tres puntos sobre ella P, Q y R, tales que exactamente 
dos de ellos se encuentran en un diámetro, digamos P y Q, demuestre que el án-
gulo PRQ es recto.
 3. Dados los vectores 
r
u , 
r
v y 
r
w en R3. Demuestre que (
r
u � 
r
v ) � 
r
w � 〈
r
u , 
r
w 〉
r
v � 
〈
r
v , 
r
w 〉
r
u (triple producto vectorial). Use esta identidad para demostrar que en 
general no se cumple (
r
u � 
r
v ) � 
r
w � 
r
u � (
r
v � 
r
w ). ¿Bajo qué condiciones se 
cumpliría la igualdad anterior?
 4. Demuestre que el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores 
r
u , 
r
v y 
r
w , está dado por |〈
r
u , 
r
v × 
r
w 〉|. Al número 〈
r
u , 
r
v × 
r
w 〉, se le llama triple 
producto escalar.
 5. Demuestre que los vectores 
r
u , 
r
v y 
r
w , son linealmente dependientes ⇔ 
〈
r
u , 
r
v � 
r
w 〉 � 0. ¿Cuál es la interpretación geométrica de este resultado a la luz 
del ejercicio 4?
 6. Dados los vectores 
r
u , 
r
v y 
r
w en R3, demuestre las siguientes identidades.
 a) 〈(
r
u 	 
r
v ), (
r
u � 
r
w 〉 � (
r
u 	 
r
v )〉 � 0
 b) 
r
u � (
r
u � (
r
u � 
r
v )) � 〈
r
u , 
r
u 〉 (
r
v � 
r
u )
 c) (
r
u � 
r
v ) � (
r
u � 
r
w ) � 〈
r
u , 
r
v � 
r
w 〉
r
u
 d) 
r
u � (
r
v � 
r
w ) 	 
r
v � (
r
w � 
r
u ) 	 
r
w � (
r
u � 
r
v ) � 
r
0
 7. Sea 
r
u un vector no cero en R3, α, β y γ los ángulos que forma este vector con 
los ejes x, y y z respectivamente. A estos ángulos se les llama ángulos directores 
de 
r
u . Demuestre que se tiene cos2(α) 	 cos2(β) 	 cos2(γ) � 1. Sugerencia: inicie 
con el caso en que el vector está sobre uno de los planos coordenados.
 8. Determine si los siguientes puntos son los vértices de un paralelogramo.
(3, 7, –2), (5, 5, 1), (4, 0, –1), (6, –2, 2).
 9. Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores (1, 1, 1), 
(1, 2, 3) y (0, 1, 0).
10. Encuentre la ecuación del plano que satisface las condiciones estipuladas.
 a) Pasa por los puntos (1, 0, –1), (0, 1, 2) y (1, 0, –2).
 b) Es normal a (1, 2, 4) y pasa por (1, 5, 9).
 c) Pasa por los puntos (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c). Si abc � 0. Demuestre que la
 ecuación del plano se puede escribir como 
x
a 
	 
y
b
 	 
z
c
 � 1.
11. Encuentre una fórmula para calcular la distancia de un punto a un plano. Su-
gerencia: revise el procedimiento empleado para obtener la distancia de una 
recta a un punto.