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Capítulo 7. Espacios con producto interno 183 basta demostrar que l � 1. Sea X ∈ Rn, entonces m(A)X � p(A)lq(A)X � 0. Es directo verifi car que p(A) es una matriz simétrica. Aplicando el lema 7.3.3 a p(A) se tiene que p(A)q(A)X � 0, es decir, p(A)q(A) anula a cualquier X de Rn, lo cual implica que p(A)q(A) es la matriz cero. Entonces m(x) divide a p(x)q(x), concluyéndose que l � 1. Sea m(x) � (x � λ1) · · · (x � λr) la factorización en irreducibles diferentes y W1, W2, ..., Wr los núcleos de los operadores A � λ1I, A � λ2I, ..., A � λrI. Aplicando el teorema de la descomposición primaria, teorema 6.1.3, página 140, se tiene que: Rn rW W W� 1 2⊕ ⊕ ⊕· · · Sea B i una base ortonormal de Wi. Por el lema 7.3.2, la unión de B1, B2, ..., Br es una base ortonormal de Rn. Defi na P como la matriz cuyas columnas son los elementos de esta base y note que P tAP puede tener elementos repetidos en la diagonal, de hecho cada λi aparece tantas veces como dim(Wi). Corolario 7.3.1. La única matriz nilpotente y simétrica es la matriz cero. Ejercicio 7.3.1. Sea A una matriz real n � n. Demuestre que todos los valores carac- terísticos de A son reales ⇔ existen: Q matriz ortogonal y R matriz triangular superior tales que A � QRQt. Sugerencia. Si A � QRQ t entonces Q tAQ � R, es decir, A es similar a R y los valores característicos de R son los elementos de su diagonal. Recíprocamente, suponga que los valores característicos de A son todos reales. Sea U1 un vector unitario asociado al valor característico λ1, es decir, A U1 � λ1 U1. Expandiendo U1 a una base ortonormal de Rn se construye una matriz ortogonal Q1 cuyas columnas son esta base, entonces Qt1 AQ es una matriz que en la primer entrada de la primer columna tiene a λ1 y cero en las restantes. Los valores característicos de la submatriz que se obtiene omitiendo la primera fi la y la primera columna de Q AQt1 tiene por valores característicos a λ2, ..., λn. Haga construcciones adecuadas y proceda inductivamente. Nota. Un corolario de este ejercicio es el teorema de los ejes principales. 7.3.3. Matrices positivas definidas Uno de los problemas importantes en cálculo de una variable es la clasifi cación de los puntos críticos de una función. Esto se hace de manera efi ciente si la función tiene su- fi cientes derivadas, más precisamente, si f(x) es una función que tiene segunda de- rivada en un punto x0 de su dominio y f ″(x0) ≠ 0, entonces el signo de f ″(x0) determina si se trata de un máximo o un mínimo. Para funciones de Rn a R hay un resultado simi- lar, salvo que en este caso, la segunda diferencial es una función bilineal simétrica determinada por una matriz simétrica y el signo de los valores característicos de esa matriz determinan si la función tiene un máximo o un mínimo. En esta parte discuti- remos algunas propiedades de las matrices simétricas que tienen valores caracterís- ticos positivos. Defi nición 7.3.6. Sea A una matriz simétrica; diremos que A es positiva defi nida si XtAX > 0 para todo X ≠ 0. Teorema 7.3.5. Sea A una matriz simétrica, entonces A es positiva defi nida ⇔ sus valores característicos son positivos. Demostración. Supongamos que todos los valores característicos, λ1, λ2, ..., λn de A son positivos. Por el teorema de los ejes principales, teorema 7.3.4, existe P matriz orto- gonal tal que P tAP � diag{λ1, λ2, ..., λn} � D. 183 Álgebra Lineal Capítulo 7 Espacios con producto interno 7.3. Formas cuadráticas y bilineales 7.3.3. Matrices positivas definidas
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