Álgebra Lineal Mora (184)

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Capítulo 6. Eigenteoría: estructura de operadores
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19. Sea A una matriz diagonalizable, {X1, X2, ..., Xn} una base de R
n que consiste 
de vectores característicos de A y P la matriz cuyas columnas son los vectores 
X1, X2, ..., Xn. Demuestre que P
�1AP � diag{λ1, λ2, ..., λn}, en donde AXi � λiXi.
20. Sea A una matriz n � n, λ un escalar no cero y B � λA. Suponga que el poli-
nomio mínimo de A es m(x) � xr 	 ar � 1x
r � 1 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 a1x 	 a0. Demuestre que 
el polinomio mínimo de B es m1(x) � x
r 	 λar �1x
r � l 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 λr � la1 	 λ
ra0. 
¿Qué relación existe entre las raíces de m(x) y las de m1(x)?
21. Sea D la matriz del ejercicio 22, página 76 y A � 
9 7 4 1
7 
19
2
 7 4
4 7 
19
2
 7
1 4 7 9
. Note que 
 D � 
1
103 
A. Use Maple en el ejercicio anterior para calcular los valores caracte-
 rísticos de D, conociendo los de A.
22. En relación con el ejercicio 6.5.1 haga una discusión completa del caso n � 2, es 
decir, la asociación deportiva tiene solamente dos categorías.
23. Sea A � 
.25 .95
.75 .05
 la matriz que describe la movilidad de población en el 
 ejemplo 1.1.3, página 15. Demuestre que el polinomio mínimo de A es m(x) �
 (x � 1) x 	
7
10 . Encuentre una matriz P tal que P
�1AP � 
1 0
0 �
7
10 
. De 
 esta ecuación se tiene: Ak � P 
1 0
0 � 
7
10
k P �1. Use esta representación de Ak 
 para hacer un análisis de la movilidad de población en el citado ejemplo.
24. En relación con el ejemplo anterior note que la suma de las entradas de cada 
columna en la matriz A es uno; también se tiene que un valor característico de 
A es λ � 1. Suponga que A es una matriz n � n con entradas � 0 tales que la su-
ma de los elementos de cada columna es uno. Demuestre que uno de los valo-
res característicos de A es λ � 1. Matrices del tipo anterior se les llama matrices 
estocásticas, por representar procesos estocásticos discretos con un número fi -
nito de estados. Algunos autores llaman matriz estocástica a la transpuesta de 
A. Con este lenguaje, la interpretación del valor característico igual a uno es 
que hay un estado estacionario, es decir, si los estados de un proceso estocás-
tico se representan por X, entonces se tiene AX � X, para algún X.
25. Demuestre que el producto de matrices estocásticas es estocástica. En par-
ticular, si A es una matriz estocástica, entonces Ak es estocástica para todo en-
tero k � 1.
26. Suponga que A es una matriz estocástica, no singular 2 � 2. ¿Cuánto suman las 
entradas de cada columna de A�1? ¿Es estocástica A�1?
27. Suponga que las características laborales de una persona pueden ser: profe-
sional, obrero califi cado u obrero no califi cado. Suponga que de los hijos de un 
profesional, 80% son profesionales, 10% son obreros califi cados y 10% son no 
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