problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (26)

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1.10 Producto cartesiano
2. Demostrar que (A ∩B) ∪ (Ac ∩B) ∪ (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩Bc) es el conjunto
universal.
3. Simplificar la expresión [(A ∩B) ∩ C] ∪ [(A ∩B) ∩ Cc] ∪ (Ac ∩B).
Solución. 1. Llamemos D al conjunto dado. Usando reiteradamente las
leyes de Morgan y la propiedad (M c)c = M :
Dc = (A ∪Bc ∪ Cc)c ∪ (A ∪B ∪ Cc)c = (Ac ∩B ∩ C) ∪ (Ac ∩Bc ∩ C).
Reagrupando y usando la propiedad distributiva de la intersección respecto
de la unión:
Dc = [(Ac ∩ C) ∩B] ∪ [(Ac ∩ C) ∩Bc]
= (Ac ∩ C) ∩ (B ∪Bc) = (Ac ∩ C) ∩ U = Ac ∩ C.
2. Llamemos C al conjunto dado. Por la propiedad asociativa de la unión:
C = [(A ∩B) ∪ (Ac ∩B)] ∪ [(A ∩Bc) ∪ (Ac ∩Bc)] .
Aplicando la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión:
C = [(A ∪Ac) ∩B] ∪ [(A ∪Ac) ∩Bc] .
Por último, llamando U al conjunto universal, y aplicando conocidas pro-
piedades del complementario:
C = (U ∩B) ∪ (U ∩Bc) = B ∪Bc = U.
3. Llamemos D al conjunto dado y U al universal. Aplicando la propiedad
distributiva de la intersección respecto de la unión:
[(A ∩B) ∩ C] ∪ [(A ∩B) ∩ Cc]
= (A ∩B) ∩ (C ∪ Cc) = (A ∩B) ∩ U = A ∩B.
Es decir, D = (A∩B)∪ (Ac∩B). Usando de nuevo la propiedad distributiva
de la intersección respecto de la unión:
D = (A ∪Ac) ∩B = U ∩B = B.
1.10. Producto cartesiano
1. Dados A = {a, b} y B = {1, 2} determinar A×B y B ×A.
2. Dados A = {1, 2} , B = {a} , C = {1, 3} determinar A×B×C. 3. Demos-
trar que A′ ⊂ A,B′ ⊂ B ⇒ A′ ×B′ ⊂ A×B.
4. Demostrar que A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C).
5. Demostrar que A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).
	Conjuntos
	Producto cartesiano