problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (30)

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1.12 Función caracteŕıstica
1.12. Función caracteŕıstica
Sea X un conjunto y M ⊂ X. La función caracteŕıstica de M se define como
la función 1M : X → {0, 1}
1M (x) =
{
1 si x ∈M
0 si x /∈M.
Demostrar que para todo A,B subconjuntos de X se verifica:
(i) 1A = 1B ⇔ A = B
(ii) 1Ac = 1− 1A.
(iii) 1A∩B = 1A · 1B.
(iv) 1A∪B = 1A + 1B − 1A · 1B.
(v) 1A∆B = 1A + 1B − 2 · 1A · 1B.
Solución. (i) ⇒) Si x ∈ A, entonces 1A(x) = 1. Por hipótesis, 1A = 1B,
luego 1B(x) = 1 lo cual implica que x ∈ B. Hemos demostrado que A ⊂ B.
Razonamiento análogo para B ⊂ A.
⇐) Por hipótesis A = B. Si x ∈ A = B, entonces 1A(x) = 1B(x) = 1. Si
x 6∈ A = B, entonces 1A(x) = 1B(x) = 0. Como 1A(x) = 1B(x) para todo
x ∈ X, concluimos que 1A = 1B.
(ii) Tenemos:
x ∈ A⇒ x 6∈ Ac ⇒ 1A(x) = 1 y 1Ac(x) = 0⇒ 1Ac(x) = 1− 1A(x)
x 6∈ A⇒ x ∈ Ac ⇒ 1A(x) = 0 y 1Ac(x) = 1⇒ 1Ac(x) = 1− 1A(x).
Como 1Ac(x) = 1− 1A(x) para todo x ∈ X, concluimos que 1Ac = 1− 1A.
(iii) Se verifica:
x ∈ A ∩B ⇒ x ∈ A y x ∈ B ⇒ 1A∩B(x) = 1 y 1A(x) = 1 y 1B(x) = 1.
Es decir, si x ∈ A ∩B entonces, 1A∩B(x) = 1A(x)1B(x). Por otra parte,
x /∈ A ∩B ⇒ x /∈ A o x /∈ B ⇒ 1A∩B(x) = 0 y (1A(x) = 0 o 1B(x) = 0) .
Por tanto, si x /∈ A ∩ B, también 1A∩B(x) = 1A(x)1B(x). Concluimos que
1A∩B = 1A · 1B.
(iv) Si x ∈ A∪B, entonces 1A∪B(x) = 1. Según los distintos casos tenemos:
x ∈ A ∩B ⇒ 1A(x) + 1B(x)− 1A(x) · 1B(x) = 1 + 1− 1 · 1 = 1
x ∈ A y x /∈ B ⇒ 1A(x) + 1B(x)− 1A(x) · 1B(x) = 1 + 0− 1 · 0 = 1
x /∈ A y x ∈ B ⇒ 1A(x) + 1B(x)− 1A(x) · 1B(x) = 0 + 1− 0 · 1 = 1.