problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (144)

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5.22 Máximo común divisor en los enteros de Gauss
1. Demostrar que Z[i] es anillo conmutativo y unitario. (Se llama anillo de
los enteros de Gauss).
2. Hallar todos los elementos invertibles de Z[i]
3. Se define para z ∈ Z[i] la aplicación ϕ(z) = |z|2. Probar que (Z[i], ϕ) es
un anillo eucĺıdeo.
4. Hallar el máximo común divisor de 16+7i y 10−5i (Utilizar el algoritmo
de Euclides).
Solución. 1. Como Z[i] ⊂ C y (C,+, ·) es anillo con las operaciones usuales
+ y ·, bastará demostrar que Z[i] es subanillo de C. Usamos el conocido
teorema de caracterización de subanillos:
(i) Z[i] 6= ∅. Esto es evidente, pues por ejemplo 0 + 0i ∈ Z[i].
(ii) Para cada par de elementos a+ bi y c+ di de Z[i] :
(a+ bi)− (c+ di) = (a− c) + (b− d)i.
Dado que a, b, c, d son enteros, también lo son a − c y b − d lo cual implica
que la diferencia anterior pertenece a Z[i].
(iii) Para cada par de elementos a+ bi y c+ di de Z[i] :
(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i.
Como a, b, c, d son enteros, también lo son ac− bd y ad+ bc lo cual implica
que el producto anterior pertenece a Z[i]. Hemos demostrado pues que Z[i]
es anillo con las operaciones usuales suma y producto de complejos. Dado
que C es conmutativo, también lo es Z[i]. Por otra parte 1 = 1 + 0i ∈ Z[i].
Concluimos que Z[i] es anillo conmutativo y unitario.
2. Un elemento a + bi ∈ Z[i] no nulo es invertible si y sólo si existe un
a′+b′i ∈ Z[i] no nulo tal que (a+bi)(a′+b′i) = 1. Tomando módulos al cua-
drado, obtenemos (a2 + b2)(a′2 + b′2) = 1. Como los dos factores anteriores
son enteros positivos, ha de ser necesariamente a2 + b2 = 1 o equivalente-
mente a = ±1 ∧ b = 0 o a = 0 ∧ b = ±1. Es decir, los únicos posibles
elementos invertibles de Z[i] son 1,−1, i,−i. Pero estos elementos son efec-
tivamente invertibles al cumplirse 1 · 1 = 1, (−1) · (−1) = 1, i · (−i) = 1 y
(−i) · i = 1.
3. El anillo (C,+, ·) es dominio de integridad, en consecuencia también lo es
Z[i]. Veamos que la aplicación ϕ : Z[i] − {0} → N, ϕ(z) = |z|2 cumple las
condiciones para que (Z[i], ϕ) sea anillo eucĺıdeo.
(i) Sean z, w ∈ Z[i]− {0} tales que z|w, entonces, existe z1 ∈ Z[i]− {0} tal
que w = zz1. Por tanto
ϕ(z) = |z|2 ≤ |z|2 |z1|2 = |w|2 = ϕ(w)⇒ ϕ(z) ≤ ϕ(w).