problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (246)

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9.5 Espacio vectorial de las funciones reales
9.5. Espacio vectorial de las funciones reales
(a) Sea X un conjunto distinto del vaćıo y sea F(X,R) el conjunto de todas
las funciones de X en R. Se definen en F(X,R) las operaciones:
Suma. Para todo f, g elementos de F(X,R):
(f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x ∈ X.
Ley externa. Para todo f ∈ F(X,R), y para todo λ ∈ R :
(λf)(x) = λf(x) ∀x ∈ X.
Demostrar que F(X,R) es espacio vectorial sobre R con las operaciones an-
teriormente definidas.
Nota. Un caso particular importante es F(R,R) (espacio vectorial de las
funciones reales de variable real).
(b) En el espacio vectorial F(R,R) se consideran los vectores f y g definidos
por f(x) = x+ ex y g(x) = 7x+ 2 cosx. Determinar el vector h = 3f + 4g.
Solución. (a) 1) (F(X,R),+) es grupo abeliano.
Interna. Claramente, la suma de dos funciones de X en R es función de X
en R.
Asociativa. Para todo f, g, h ∈ F(X,R), para todo x ∈ X y usando la
propiedad asociativa de la suma de números reales:
[(f + g) + h](x) = [(f + g)(x)] + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x)
= f(x) + [g(x) + h(x)] = f(x) + [(g + h)(x)] = [f + (g + h)](x).
Por la definición de igualdad de funciones, (f + g) + h = f + (g + h).
Elemento neutro. Consideremos la función 0 : X → R definida por 0(x) = 0
para todo x ∈ X. Entonces, para cualquier f ∈ F(X,R) :
(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x)⇒ f + 0 = f,
(0 + f)(x) = 0(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x)⇒ 0 + f = f,
por tanto la función 0 es elemento neutro.
Elemento simétrico. Para cada f ∈ F(X,R), definamos la función −f de la
siguiente manera: (−f)(x) = −f(x), x ∈ X. Entonces, para todo x ∈ X :
[f + (−f)](x) = f(x) + (−f)(x) = f(x) + (−f(x)) = 0⇒ f + (−f) = 0,
[(−f) + f ](x) = (−f)(x) + f(x) = −f(x) + f(x) = 0⇒ (−f) + f = 0,
es decir todo elemento de F(X,R) tiene simétrico.