problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (247)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
Conmutativa. Para todo f, g ∈ F(X,R), para todo x ∈ X y usando la
propiedad conmutativa de la suma de números reales:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)⇒ f + g = g + f.
2) Se cumplen los cuatro axiomas de ley externa. Para todo λ, µ ∈ R, para
todo f, g ∈ F(X,R), para todo x ∈ X y usando la definición de igualdad de
funciones:
1. (λ(f + g)) (x) = λ ((f + g)(x)) = λ (f(x) + g(x)) = λf(x) + λg(x)
= (λf)(x) + (λg)(x) = (λf + λg)(x)⇒ λ(f + g) = λf + λg.
2. ((λ+ µ)f) (x) = (λ+ µ)f(x) = λf(x) + µf(x) = (λf)(x) + (µf)(x)
= (λf + µf)(x)⇒ (λ+ µ)f = λf + µf.
3. ((λµ)f) (x) = (λµ)f(x) = λ (µf(x)) = λ ((µf)(x)) = (λ(µf)) (x)
⇒ (λµ)f = λ(µf).
4. (1f)(x) = 1f(x) = f(x)⇒ 1f = f.
Observación. De manera análoga y sustituyendo R por cualquier cuerpo K
se demuestra que F(X,K) es espacio vectorial.
(b) Usando las conocidas operaciones en F(R,R) :
h(x) = (3f + 4g)(x) = 3f(x) + 4g(x) = 3x+ 3ex + 28x+ 8 cosx
= 31x+ 3ex + 8 cosx (∀x ∈ R).
9.6. Subcuerpo como espacio vectorial
Sea K un cuerpo y k ⊂ K un subcuerpo de K. Se considera en K, su suma y
por otra parte, la operación ley externa k ×K→ K, (λ, x)→ λx, en donde
λx representa el producto en K. Demostrar que K es espacio vectorial sobre
el cuerpo k, con las operaciones dadas.
Nota. Un caso particular se obtiene para k = K, es decir todo cuerpo es
espacio vectorial sobre śı mismo con las operaciones mencionadas.
Solución. 1) Dado que (K.+, ·) es por hipótesis un cuerpo, (K.+) es grupo
abeliano.
2) Sean λ, µ ∈ k y x, y ∈ K. Dado que k ⊂ K, los elementos λ, µ, x, e y
pertenecen a K. Usando las propiedades de la estructura de cuerpo en K,
	Espacios vectoriales
	Subcuerpo como espacio vectorial