problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (272)

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9.13 Base de un espacio vectorial
B es base de Cn como espacio vectorial sobre C.
b) Elijamos el sistema de Cn : B′ = {u1, . . . , un, iu1, . . . , iun}. La igualdad
λ1u1 + . . .+ λnun + µ1(iu1) + . . .+ µn(iun) = 0 con λi, µi ∈ R equivale a:
(λ1 + iµ1, . . . , λn + iµn) = (0, . . . , 0).
Igualando componentes y partes real e imaginaria, deducimos λi = µi para
todo i, por tanto B′ es sistema libre. Por otra parte, todo vector de Cn es
de la forma
z = (a1 + ib1, . . . , an + ibn) con ai, bi ∈ R.
Entonces, z = a1u1 + . . .+ anun + b1(iu1) + . . .+ bn(iun) lo cual implica que
B′ genera a Cn. Concluimos que B′ es base de Cn como espacio vectorial
sobre R.
8. Supongamos que existiera un base B = {p1(x), . . . , pn(x)} de R[x] forma-
da por n polinomios. Si m es el mayor de los grados de los polinomios de B,
entonces
xm+1 6= λ1p1(x) + . . .+ λnpn(x)
para cualquier elección de los escalares λi (el segundo miembro tiene gra-
do ≤ m). Es decir, B no seŕıa sistema generador (en contradicción con la
hipótesis).
9. Vimos que B genera a R[x]. Veamos ahora que B es sistema libre. En efec-
to, sea {xk1 , . . . , xkm} un subconjunto finito de B. Dado que los exponentes
ki son distintos dos a dos, de la igualdad
λ1x
k1 + . . .+ λmx
km = 0,
se deduce por el principio de igualdad de polinomios que λi = 0 para todo
i = 1, . . . ,m. Concluimos que B es base de R[x].[
10. a) El conjunto M dado se puede escribir en la forma:
M = { λ
[
1 0
3a b
]
+ µ
[
0 −1
0 −2
]
con λ, µ ∈ R },
por tanto M = L[S], siendo S el conjunto formado por las dos matrices
anteriores, y todo conjunto de la forma L[S], sabemos que es subespacio.
b) Las dos matrices anteriores generan aM. Además, son linealmente inde-
pendientes pues de la igualdad
λ1
[
1 0
3a b
]
+ λ2
[
0 −1
0 −2
]
=
[
0 0
0 0
]