problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (299)

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Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
3. En R4 se consideran los subespacios vectoriales:
U = 〈(3,−1, 1, 2), (−1, 0, 2,−1), (1,−1, 5, 0)〉,
V = 〈(1, 1,−1, 2), (5, 0,−2, 5)〉.
Hallar unas bases de U + V y de U ∩ V.
Solución. 1. (i) El subespacio U es el conjunto de las soluciones del sistema
lineal {
0x1 + x2 + x3 + x4 = 0.
La dimensión de U es por tanto, dimU = 4− rg
[
0 1 1 1
]
= 4− 1 = 3.
Dando a las incógnitas libres (en este caso x1, x3 y x4) valores de la matriz
identidad nos asegura una base de U (tendŕıamos tres vectores linealmente
independientes en U que es de dimensión 3). Para x1 = 1, x3 = 0, x4 = 0
obtenemos x2 = 0. Para x1 = 0, x3 = 1, x4 = 0 obtenemos x2 = −1. Para
x1 = 0, x3 = 0, x4 = 1 obtenemos x2 = −1.
Una base de U es por tanto
BU = {(1, 0, 0, 0), (0,−1, 1, 0), (0,−1, 0, 1)} .
(ii) Procedemos de manera análoga. Tenemos:
V ≡
{
x1 + x2 = 0
x3 − 2x4 = 0
⇒ dimV = 4− rg
[
1 1 0 0
0 0 1 −2
]
= 4− 2 = 2.
Para x1 = 1, x4 = 0, obtenemos x2 = −1, x3 = 0. Para x1 = 0, x4 = 1,
obtenemos x2 = 0, x3 = 2. Una base de V es por tanto
BV = {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 2, 1)} .
(iii) Los vectores de U∩V son exactamente los que satisfacen las condiciones
de pertenencia a U y a V, es decir:
U ∩ V ≡

x1 + x2 = 0
x2 + x3 + x4 = 0
x3 − 2x4 = 0
dim(U ∩ V ) = 4− rg
1 1 0 00 1 1 1
0 0 1 −2
 = 4− 3 = 1.
Para x4 = 1, obtenemos x1 = 3, x2 = −3, x3 = 2, luego una base de U ∩ V
es:
BU∩V = {(3,−3, 2, 1)} .