problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (394)

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11.1 Concepto de valor y vector propio
Comprobar que u = (1, 1, 1, 1)t y v = (1, 0, 0,−1)t son vectores propios de
la matriz A.
6. Una matriz cuadrada A se dice que es involutiva si, y sólo si A2 = I.
Demostrar que si λ es valor propio de una matriz involutiva, entonces λ = 1
o λ = −1.
7. Supongamos que x es un vector propio de un endomorfismo f : E → E,
asociado a un valor propio λ. Demostrar que para todo entero n > 0, x
también es un vector propio de fn correspondiente a λn.
Solución. 1. Vector u:
f(u) =
(
2 2
1 3
)(
1
1
)
=
(
4
4
)
= 4
(
1
1
)
= 4u, por tanto u es vector propio de
f asociado al valor propio λ = 4.
Vector v :
f(v) =
(
2 2
1 3
)(
−2
1
)
=
(
−2
1
)
= 1
(
−2
1
)
= 1v, es decir v es vector propio
de f asociado al valor propio λ = 1.
Vector w :
f(w) =
(
2 2
1 3
)(
3
1
)
=
(
8
6
)
, ahora bien,
(
8
6
)
= λ
(
3
1
)
⇔ λ = 8/3 y λ = 6.
No existe λ ∈ R satisfaciendo las condiciones anteriores, luego w no es vector
propio de f .
2. Para todo a ∈ R la función v(t) = eat es no nula y se verifica
f (v(t)) = v′(t) = aeat = av(t).
Es decir, v(t) = eat es vector propio de f asociado al valor propio λ = a.
3. Si x ∈ E es no nulo, entonces f(x) es no nulo y está en distinta dirección
que x. Esto implica que f(x) no es proporcional a x o equivalentemente
f(x) 6= λx para todo λ ∈ R. Es decir, f no tiene ni valores ni vectores pro-
pios.