problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (397)

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Caṕıtulo 11. Valores y vectores propios
Aplicando f a ambos miembros:
α1λ1x1 + . . .+ αmλmxm = 0. (2)
Multiplicando la relación (1) por λ1 :
λ1α1x1 + . . .+ λ1αmxm = 0. (3)
Restando a la igualdad (2) la (3) :
α2(λ2 − λ1)x2 + . . .+ αn(λm − λ1)xm = 0.
Por hipótesis de inducción, {x2, . . . , xm} es sistema libre, por tanto:
α2(λ2 − λ1) = 0, . . . , αn(λm − λ1) = 0.
Dado que los λi son distintos dos a dos, se verifica λi − λ1 6= 0 para todo
i = 2, . . . ,m, luego α2 = . . . = αm = 0. Sustituyendo en (1) obtenemos
α1 = 0 y queda demostrada la propiedad para m.
11.3. Polinomio caracteŕıstico
1. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K de dimensión finita n. Sea A la
matriz de f respecto de una determinada base B de E. Demostrar que:
(a) λ ∈ K es valor propio de f ⇔ det(A− λI) = 0
(b) Si λ ∈ K es valor propio de f , entonces x ∈ Vλ ⇔ (A − λI)X = 0 en
donde X es el vector de coordenadas de x en la base B.
2. Sea K un cuerpo y A,B ∈ Kn×n dos matrices semejantes. Demostrar que
A y B tienen el mismo polinomio caracteŕıstico.
3. Sea A ∈ Kn×n y sea χ(λ) su polinomio caracteŕıstico. Demostrar que:
χ(λ) = λ2 − (traza A)λ+ detA (si n = 2),
χ(λ) = −λ3 + (traza A)λ2 − (A11 +A22 +A33)λ+ detA (si n = 3),
en donde Aii representa el adjunto del elemento aii de la matriz A.
4. Sea A ∈ Kn×n y sea χ(λ) su polinomio caracteŕıstico. Demostrar que
χ(λ) = (−1)nλn + (−1)n−1(traza A)λn−1 + . . .+ detA.
5. Sea f un endomorfismo sobre un espacio vectorial E de dimensión finita
sobre el cuerpo K. Sea λi valor propio de f . Demostrar que 1 ≤ dimVλi ≤
	 Valores y vectores propios
	Polinomio característico