Apuntes algebra lineal y geometria vega (105)

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3.6. PROBLEMAS DE LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO 101
Problema 3.6.11
Sea f :R3 ! R3 un endomorfismo que respecto de la base canónica tiene por matriz A =
0
@
1 a 1
0 1 b
0 0 c
1
A
¿Bajo qué condiciones es f diagonalizable?
Problema 3.6.12
Sea f :R3 ! R3 un endomorfismo tal que f2 = f . Demuestra que f es diagonalizable y halla sus
vectores propios.
Problema 3.6.13
Sea A una matriz n ⇥ n con coeficientes reales. Dicha matriz A puede considerarse como asociada
a un endomorfismo de Rn (como R–espacio vectorial) o a un endomorfismo de Cn (como C-espacio
vectorial).
a) Da un ejemplo de matriz real 4⇥ 4 que sea diagonalizable sobre C y no sobre R.
b) Da un ejemplo de matriz real 4⇥ 4 que no sea diagonalizable sobre C. ¿Lo será sobre R?
c) Demuestra que toda matriz real 3 ⇥ 3 cuyo polinomio caracteŕıstico tenga una sola raiz real es
diagonalizable sobre C.
Problema 3.6.14
Sea f un endomorfismo de R3 del que se sabe lo siguiente:
a) f es diagonalizable y sólo tiene dos autovalores distintos.
b) Si U = {(x, y, z) 2 R3 : x� 2y � z = 0} y V = h{(1, 0, 1), (�1, 1, 1)}i, f(U) = V .
c) Un valor propio de f es �1 y uno de sus vectores propios pertenece a U .
d) (1, 0,�1) es un vector propio de f , y está asociado a un autovalor simple.
Halla la matriz A asociada a f respecto de la base canónica, en función de cuántos parámetros sea
preciso.
Problema 3.6.15
Sea V un R–espacio vectorial de dimensión 125 y f un endomorfismo de V no inyectivo tal que f3 =
196f . Sean Mf (X) y Pf (X) el polinomio mı́nimo y el polinomio caracteŕıstico de f respectivamente.
Justifica cada una de las siguientes implicaciones:
f3 = 196f ) Mf (X) es un divisor de X(X � 14)(X + 14) )
) Pf (X) = Xr(X � 14)s(X + 14)t , 1  r, 0  s, 0  t , r + s+ t = 125 )
) ker(f), ker(f � 14IV ), ker(f + 14IV ) tienen resp. dimensiones r, s, t )
) Existe B base de V tal que MB(f) es diagonal con 0’s, 14’s y (-14)’s en la
diagonal principal.