problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (535)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
Solución. 1. (i) El vector nulo 0 de E es ortogonal a todos los de E, en
particular a todos los de S, luego 0 ∈ S⊥.
(ii) Sean x, x′ ∈ S⊥. Entonces, para todo y ∈ S se verifica〈
x+ x′, y
〉
= 〈x, y〉+
〈
x′, y
〉
= 0 + 0 = 0,
en consecuencia x+ x′ ∈ S⊥.
(iii) Sea λ ∈ R y x ∈ S⊥. Para todo y ∈ S se verifica
〈λx, y〉 = λ 〈x, y〉 = λ · 0 = 0,
en consecuencia λx ∈ S⊥. Concluimos que S⊥ es subespacio de E.
2. Para que un vector (x1, x2, x3) sea ortogonal a todos los de F, bas-
ta que sea ortogonal a los de una base de F. Una base de F es BF =
{(1,−1, 0), (−2, 0, 1)}, por tanto
F⊥ ≡
{
〈(x1, x2, x3), (1,−1, 0)〉 = 0
〈(x1, x2, x3), (−2, 0, 1)〉 = 0
≡
{
x1 − 2x2 = 0
−2x1 + 3x3 = 0,
y una base de F⊥ es BF⊥ = {(6, 3, 4)}.
3. Una base de F es BF = {1, x}. Un vector a+ bx+ cx2 de R2[x] pertenece
a F⊥ śı, y sólo si,{ 〈
a+ bx+ cx2, 1
〉
=
∫ 1
0 (a+ bx+ cx
2) dx = 0〈
a+ bx+ cx2, x
〉
=
∫ 1
0 (ax+ bx
2 + cx3) dx = 0.
Integrando obtenemos
F⊥ ≡
{
a+ b2 +
c
3 = 0
a
2 +
b
3 +
c
4 = 0
Y una base de F⊥ (en coordenadas en la base canónica de R2[x]) es {(1,−6, 6)}
por tanto F⊥ = L[1− 6x+ 6x2].
4. (i) Si x ∈ N⊥ entonces 〈x, y〉 = 0 para todo y ∈ N. Como M ⊂ N,
〈x, y〉 = 0 para todo y ∈M, luego x ∈M⊥.
(ii) Si x ∈ F ∩ F⊥ = {0}, entonces x ∈ F y x ∈ M⊥ por tanto 〈x, x〉 = 0,
luego necesariamente x = 0. Por otra parte, al ser F y F⊥ subespacios de
E, ambos contienen al vector nulo, en consecuencia F ∩ F⊥ = {0}.
(iii) Si x ∈M entonces 〈x, y〉 = 0 para todo y ∈M⊥ por tanto x ∈
(
M⊥
)⊥
.