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Copia de Clase2_TP1_MatemáticaII - Carla Justiniano
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Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Naturales Carreras: IA- IRNYMA (2º Cuatrimestre 2020) Prof. Alvarez Valeria – Silva Mercedes Ideas para resolver actividades 4 a 5 • Indeterminacion del tipo 𝟎 𝟎 Si una función se nos presenta definida como un cociente de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ 𝑥 , para determinar el limite debemos: Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Calcularemos 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝒙−𝟏 𝒙𝟐−𝟓 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟓 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙𝟐−𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝟓 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 𝟐 − 𝟓 = 𝟗 − 𝟓 = 𝟒 ≠ 𝟎 Puedo aplicar propiedad de limite Debo analizar el limite en el denominador 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟓 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟓 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟏 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟓 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 − 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝟏 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝟓 = 𝟑 − 𝟏 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 𝟐 − 𝟓 = 𝟐 𝟒 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟓 = 𝟏 𝟐Por lo tanto Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Calcularemos 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟏 + 𝟑 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟏 + 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟑 𝒙 Debo analizar el limite en el denominador 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝒙 = 𝟎 Debo analizar el limite en el numerador 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟑 = 𝟑 ≠ 𝟎 No puedo aplicar propiedad de limite ∄ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟏 + 𝟑 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝟏 + 𝟑 𝒙 = Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Calcularemos 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝒙𝟐−𝟗 𝒙−𝟑 Debo analizar el limite en el denominador 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 Debo analizar el limite en el numerador 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝟎 Tenemos una indeterminación del tipo 𝟎 𝟎 DEBEMOS SALVARLA (Decidir si finalmente el limite de la función existe o no ) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗 𝒙 − 𝟑 = Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙 + 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝟑 = 𝟔 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗 𝒙 − 𝟑 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑) 𝒙 − 𝟑 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 (𝒙 + 𝟑) = Técnicas para salvar indeterminaciones 1. Descomponer en factores los polinomios del numerador y del denominador, o uno de ellos 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗 𝒙 − 𝟑 = 𝟔 Por lo tanto Pizarra de zoom: Ejemplo de cuando tenemos una indeterminación del tipo 0/0 que al salvarla , su limite no existe Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Recordar que existe otra técnica para salvar indeterminaciones: Racionalización de denominador Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 • Identificar cuando tenemos una indeterminación del tipo 0/0 • Salvar indeterminaciones del tipo 0/0 • Limites infinitos Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Si los valores de una función 𝑦 = 𝑓 𝑥 crecen o decrecen sin limite cuando la variable independiente se aproxima a un numero 𝑥 = 𝑎, se dice que tenemos limite infinito Ejemplo 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟐 Debo analizar el limite en el denominador 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙 − 𝟐 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙− 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 Debo analizar el limite en el numerador 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙 + 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝟓 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐 + 𝟓 = 𝟒 − 𝟐 + 𝟓 = 𝟕 ≠ 𝟎 Analizaremos el limite en 𝑥 = 2 para valores superior (limite por derecha ) e inferiores (limite por izquierda) Limites laterales 21 3 Pensando en el 𝑥 = 2,00001 Pensando en el 𝑥 = 1,99999 𝒍𝒅: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐+ 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟐 = +∞ 𝒍𝒊: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐− 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟐 = −∞ Número negativo cercano a cero Número positivo cercano a cero ∄ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟐 El numerador de ambos tiene a un valor positivo • Asíntota vertical Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Siguiendo con el ejemplo Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟐 𝒍𝒅: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐+ 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟐 = +∞ 𝒍𝒊: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐− 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟐 = −∞ ∄ 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟐 Diremos que la grafica de la función presenta una asíntota vertical en 𝒙 = 𝟐 Habíamos concluido que Por definición de asíntota vertical Si analizamos el dominio Como es una función racional , hay que pedir que 𝒙 − 𝟐 ≠ 𝟎 Resolviendo 𝑫𝒐𝒎: ℝ − 𝟐 𝒙 = 𝟐 es una posible ecuación de asíntota en la grafica Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 En este ejercicio tenemos dos posibles asíntotas Analizaremos los limites laterales para cada uno de los valores de x Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020 • Concepto limite infinito • Concepto de asíntota vertical • Identificar cuando un función tiene asíntota vertical
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