Tarea 2_LimitesyContinuidad_479

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Tarea 2: Limites y Continuidad 
 
 
Tutor: 
Jose Alberto Escobar 
 
Presentado por : 
 Paula Andrea Vargas Idarraga 
 
Grupo: 479 
 
 
 
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD 
Administración de Empresas 
Calculo Diferencial (100410) 
 2023 
 
 
Introducción 
 
El objetivo de este trabajo es comprender analíticamente y gráficamente los conceptos 
de limite y continuidad, aplicando sus propiedades y métodos de desarrollo a través de 
la solución de los ejercicios de situaciones contextualizadas. 
 
Los limites se representan como el comportamiento de una funcion conforme nos 
acercamos a un cierto valor de entrada sin importar el valor de la salida de la funcion. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
Ejercicio 1 
 
Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, y de acuerdo con ella determinar 
los límites laterales dados, presentar la gráfica y la respuesta a cada inciso. 
 
 
A 
 
 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥2 + 3
4
 𝑥 > 3 
−𝑥3 + 𝑥 𝑥 ≤ 3
 
 
a. lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) 
b. lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 
c. lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) 
d. lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) 
 
a. lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) 
Según la gráfica cuando x se acerca a −∞ va a ser igual −∞ 
 
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑥 → −∞ 
 
b. lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 
 
Como la función va en subida, se va acercando a ∞ este va tomando un valor de ∞ 
 
lim 𝑓(𝑥) = − ∞ 𝑥 → ∞ 
 
c. lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) 
 
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3
(𝑥 + 3) = 3 + 3 = 6 
 
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3+
(2𝑥) = 2 ∗ 3 = 6 
 
 
De este modo el límite de 𝑓(𝑥) cuando x tiende a 3 por la izquierda es 6 
 
 
d. lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) 
 
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3
(−𝑥 − 3) = −6 
 
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3−
(2𝑥) = 2 ∗ 3 = 6 
 
De este modo el límite de 𝑓(𝑥) cuando x tiende a 3 por la derecha es 6 
 
Grafica en GeoGebra 
 
 
 
Ejercicio 2 
 
Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma 
0
0
 presentado el paso a paso del 
desarrollo y su respuesta. 
 
 
A lim
𝑥→
3
2
 
4𝑥2 − 12𝑥 + 9
2𝑥2 − 𝑥 − 3
 
 
 
Pasos 
lim
𝑥→
3
2
 ( 
4𝑥2 − 12𝑥 + 9
2𝑥2 − 𝑥 − 3
) = 
 
Factorización 
lim
𝑥→
3
2
 
(2𝑥 − 3)2
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 3)
= 
lim
𝑥→
3
2
 
(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 3)
 
lim
𝑥→
3
2
 
2𝑥 − 3
𝑥 + 1
 
Se sustituye la variable y se simplifica 
=
2 ∗
3
2
− 3
3
2
+ 1
 
= 0 
 
A la izquierda y a la derecha 
 
lim
𝑥→
3
2
 ( 
4𝑥2 − 12𝑥 + 9
2𝑥2 − 𝑥 − 3
) 
0 
= 414674660750537𝑒 − 31 
lim
𝑥→
3
2
 ( 
4𝑥2 − 12𝑥 + 9
2𝑥2 − 𝑥 − 3
) 
0 
 
= −4.25512447669993𝑒 − 35 
 
 
Ejercicio 3 
Calcular el siguiente límite al infinito y comprobar en GeoGebra que el límite existe, 
presentar la gráfica de donde se evidencie la existencia del límite y el paso a paso del 
desarrollo analítico del ejercicio. 
 
A lim
𝑥→∞
4𝑥4 + 5
(𝑥2 − 2)(2𝑥2 − 1)
 
 
Paso a paso 
lim
𝑥→∞
4𝑥4 + 5
(𝑥2 − 2)(2𝑥2 − 1)
 
 
Forma indeterminada 
∞
∞
 
 
lim
𝑥→∞
4 ∗ ∞4 + 5
(∞2 − 2)(2 ∗ ∞2 − 1)
 
 
= lim
𝑥→∞
∞
∞
 
 
lim
𝑥→∞
4𝑥4 + 5
(𝑥2 − 2)(2𝑥2 − 1)
 
 
Divide el numerador y denominador por 𝒙𝟒 
 
lim
𝑥→∞
5
𝑥4
+ 4
−
5
𝑥2
+
2
𝑥4
+ 2
 
 
Reduciendo términos 
 
1
𝑥𝑛
→ 0, 𝑛 > 0 
 
𝑎 𝑥 → ∞ 
 
lim
𝑥→∞
0
5
𝑥4
+ 4
0 0
−
5
𝑥2
+
2
𝑥4
+ 2
= lim
𝑥→∞
4
2
 
 
Límite de una constante 
 
𝐥𝐢𝐦 𝒄 = 𝒄 
 
lim
𝑥→∞
4
2
= 2 
 
Limite encontrado es 2 
 
Grafica en GeoGebra 
 
 
 
Ejercicio 4 
Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentado el paso a paso del desarrollo y su 
respuesta (Para su solución no utilizar la regla L´Hopital). 
 
A 
lim
𝑥→0
(
cos 𝑥 − 1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
) 
 
 
Pasos 
lim
𝑥→0
cos 𝑥 − 1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
 
 
Agrupamiento 
lim
𝑛→0
cos 𝑥 − 1
𝑥2 (
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥 )
2 
 
Limite común 
 
lim
𝑛→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 
 
lim
𝑥→0
cos 𝑥 − 1
𝑥2
 
 
Aplicar la formula 
 
Formula de reducción de potencia 
1 − cos 2𝑥 
2
= 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 
lim −
𝑥→0
2 𝑠𝑒𝑛 2 ( 
𝑥
2
)
𝑥2
 
Agrupamiento 
 
−2 lim
𝑛→0
(
𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2)
𝑥
2
)
2
4
 
 
Limite común 
lim
𝑛→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 
 
−2 lim
𝑛→0
1
4
 
 
Límite de una constante 
 
𝐥𝐢𝐦 𝒄 = 𝒄 
 
−2 lim
𝑛→0
1
4
= −
1
2
 
 
Limite encontrado es −
𝟏
𝟐
 
 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 
 
Para las siguientes funciones a trozos, determinar los valores de a y b que hacen que la 
función sea continúa 
 
𝑔(𝑥) = {
3𝑥 + 𝑏 𝑆𝑖 𝑥 ≤ −2
𝑥2 + 5 𝑆𝑖 − 2 < 𝑥 ≤ 2
−5𝑥 + 𝑎 𝑆𝑖 𝑥 > 2
 
 
 
 
Evaluar el límite cuando 𝑥 = −2 
lim
𝑥→−2
(3𝑥 + 𝑏) = lim
𝑥→−2
(𝑥2 + 5) 
Reemplazo 
3(−2) + 𝑏 = −22 + 5 
 
−6 + 𝑏 = 4 + 5 
Despejamos b 
𝑏 = 4 + 5 + 6 
𝑏 = 15 
 
Evaluar el límite cuando es 𝑥 = 2 
 
lim
𝑥→2
(𝑥2 + 5) = lim
𝑥→2
(−5𝑥 + 𝑎) 
Reemplazo 
22 + 5 = −5(2) + 𝑎 
4 + 5 = −10 + 𝑎 
Despejamos a 
10 + 9 = +𝑎 
19 = 𝑎 
Aun así, la función a trozos continua quedaría 
 
𝑔(𝑥) = {
3𝑥 + 15 𝑆𝑖 𝑥 ≤ −𝟐
𝑥2 + 5 𝑆𝑖 − 2 < 𝑥 ≤ 2
−5𝑥 + 19 𝑆𝑖 𝑥 > 𝟐
 
 
𝑠𝑖 [𝑥 < −2, 3𝑥 + 15, 𝑠𝑖[−2 < 𝑥 < 2, 𝑥2 + 5, 𝑠𝑖[𝑥 > 2, −5𝑥 + 19]]] 
 
Grafica en GeoGebra 
 
 
Enlace del video 
https://youtu.be/ofcILRE0ruk 
https://youtu.be/ofcILRE0ruk
Referencias Bibliográficas 
 
Angarita, R. (2022). El concepto de Límite. [OVI]. Repositorio Institucional UNAD. 
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/53066 
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UNAD. http://hdl.handle.net/10596/11623 
Franco, A. (2020). El concepto de Límite. [OVI]. Repositorio Institucional UNAD. 
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Prado, C. (2017). Cálculo Diferencial. Pearson Educación. (pp. 226-232). https://www-
ebooks7-24-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=7355&pg=226 
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Rogawski, J. (2016). Cálculo: Una variable (2da ed.). Editorial Reverté. (pp. 71-
86). https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777?page=97 
Salazar, Y. (2022). Propiedades de los Límites. [OVI]. Repositorio Institucional UNAD. 
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http://hdl.handle.net/10596/11623
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33801
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https://www-ebooks7-24-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=7315&pg=154
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/46777?page=97
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/53075
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/53064
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/53064