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Cálculo II
Unidad I
Funciones de varias variables
Tema: Límites
• Definición.
• Método por cambio de variable
• Método por caminos
• Método por coordenadas 
polares.
Objetivo
Discutir la existencia 
del límite de una 
función real de varias 
variables en un 
punto.
Definición formal de límite
Sea la función 𝑓 una función real de varias variables
𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅𝑛 → 𝑅 y sea 𝑥0 ∈ 𝐷. Se dice que 𝐿 ∈ 𝑅 es el límite
de 𝑓 cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 si se cumple que:
∀𝜀 > 0 , ∃𝛿 > 0 tal que
0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
y se denota por:
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿
Interpretación geométrica para 
funciones de dos variables
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿
Cuando los puntos (𝑥, 𝑦) se 
aproximan al punto (𝑎, 𝑏), 
las respectivas imagenes
𝑓(𝑥, 𝑦) se aproximan a 𝐿
𝑓:𝐷 ⊂ 𝑅2 → 𝑅
Propiedades de límites
Sea 𝑥0 ∈ 𝐷 y sean 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐷 ⊂ 𝑅
𝑛 → 𝑅 dos funciones tales que 
existen:
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿1 y lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 𝐿2
entonces:
• lim
𝑥→𝑥0
𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘𝐿1 , ∀𝑘 ∈ 𝑅
• lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = 𝐿1 ± 𝐿2
• lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) = 𝐿1 ∙ 𝐿2
• lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
=
𝐿1
𝐿2
siempre y cuando 𝐿2 ≠ 0.
Ejemplo 1: Resuelva el siguiente límite:
lim
(𝒙,𝒚)→(−𝟐,𝟒)
1 − 𝑥3𝑦 − cos 𝑥 + 𝑦 − 2
𝑥𝑦 − 𝑥5 − 8
Solución
Como lim
(𝑥,𝑦)→(−2,4)
𝑥𝑦 − 𝑥5 − 8= −8 + 32 − 8 = 4 ≠ 0, se tiene de las
propiedades de límites que:
lim
(𝑥,𝑦)→(−2,4)
1 − 𝑥3𝑦 − cos 𝑥 + 𝑦 − 2
𝑥𝑦 − 𝑥5 − 8
=
1 + 32 − cos 0
−8 + 32 − 8
=
−32
4
= −8
Método por Cambio de Variable
• Este método consiste en usar un cambio de variable apropiado 
con el fin de que el límite resultante se exprese en términos de 
una sola variable. De modo que podamos aplicar los métodos 
de Cálculo I para poder calcular los limites.
• En caso que nos quede formas indeterminadas del tipo 
0
0
o del 
tipo 
∞
∞
, podemos hacer uso de la regla de L’ Hospital u otras 
técnicas para salvar dichos limites.
Ejemplo 2: Resuelva el siguiente límite:
lim
(𝑥,𝑦)→(2,1)
𝑒𝑥−2𝑦 − 1
𝑥 − 2𝑦
Solución
Si aplicamos las propiedades de límites para el cociente, se
obtiene la indeterminación
0
0
. Para salvar la indeterminación
aplicaremos el método de cambio de variable:
𝑢 = 𝑥 − 2𝑦
Notamos que
Reemplazando: lim
(𝑥,𝑦)→(2,1)
𝑒𝑥−2𝑦−1
𝑥−2𝑦
= lim
𝑢→0
𝑒𝑢−1
𝑢
ฐ=
𝐿′𝐻
lim
𝑢→0
𝑒𝑢
1
=1
Haciendo el cambio de variable 
𝑥 → 2 ∧ 𝑦 → 1 implica que 𝑢 = 𝑥 − 2𝑦 → 0
𝑢 = 𝑥𝑦
Ejemplo 3. Resolver lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
cos 2𝑥𝑦−cos sin 𝑥𝑦
𝑥2𝑦2
y observando que 
Solución
Aplicando las propiedades de límites se obtiene la indeterminación
0
0
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
cos 2𝑥𝑦 − cos( sin(𝑥𝑦))
𝑥2𝑦2
= lim
𝑢→0
cos2 𝑢 − cos( sin 𝑢)
𝑢2
=
0
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
ฎ=
𝐿′𝐻
lim
𝑢→0
−2 sin(2𝑢)+sin sin 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢
2𝑢
=
0
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
ฎ=
𝐿′𝐻
lim
𝑢→0
−2 sin(2𝑢)
2𝑢
+ lim
𝑢→0
sin sin 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢
2𝑢
= −2 lim
𝑢→0
sin(2 𝑢)
2𝑢
+ lim
𝑢→0
sin sin 𝑢
sin 𝑢
sin 𝑢
𝑢
cos 𝑢
2
= −2 +
1
2
= −
3
2
Haciendo el cambio de variable 
𝑥 → 0 ∧ 𝑦 → 0 implica que 𝑢 → 0 se sigue que
Método de Convergencia por Caminos
Teorema: (Convergencia por caminos)
Si lim
𝑥,𝑦 → 𝑎,𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿1 a lo largo de un camino 𝐶1 y lim
𝑥,𝑦 → 𝑎,𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿2
a lo largo de otro camino camino 𝐶2 donde 𝐿1 ≠ 𝐿2 entonces 
lim
𝑥,𝑦 → 𝑎,𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 no existe.
Las curvas 𝐶1 y 𝐶2 pasan por el punto (𝑎, 𝑏)
Ejemplo 4. Resolver lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑥𝑦−𝑦3+6
𝑥2+𝑦−3
Solución
Aplicando las propiedades de límites se obtiene la indeterminación
0
0
,
usando convergencia por caminos:
𝐶1: 𝑥 = 1
lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑥𝑦 − 𝑦3 + 6
𝑥2 + 𝑦 − 3
= lim
(1,𝑦)→(1,2)
𝑦 − 𝑦3 + 6
1 + 𝑦 − 3
=
0
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
ฎ=
𝐿′𝐻
lim
𝑦→2
1−3𝑦2
1
= −11
𝐶2: 𝑦 = 2 lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑥𝑦 − 𝑦3 + 6
𝑥2 + 𝑦 − 3
= lim
(𝑥,2)→(1,2)
2𝑥 − 8 + 6
𝑥2 + 2 − 3
=
0
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
ฎ=
𝐿′𝐻
lim
𝑥→1
2
2𝑥
= 1
Como los límites son diferentes se concluye que lim
(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑥𝑦−𝑦3+6
𝑥2+𝑦−3
no existe
Ejemplo 5. Resolver lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
sin 3𝑥2+𝑦2
ln 𝑥2+𝑦2+1
Solución
Aplicando las propiedades de límites se obtiene la indeterminación
0
0
,
usando convergencia por caminos:
𝐶1: 𝑥 = 0
𝐶2: 𝑦 = 𝑥
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
sin 3𝑥2 + 𝑦2
ln 𝑥2 + 𝑦2 + 1
= lim
(0,𝑦)→(0,0)
sin 𝑦2
ln 𝑦2 + 1
=
0
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
ฎ=
𝐿′𝐻
lim
𝑦→0
cos(𝑦2)2𝑦
1
𝑦2+1
∙2𝑦
= lim
𝑦→0
cos(𝑦2) (𝑦2+1) = 1
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
sin 3𝑥2 + 𝑦2
ln 𝑥2 + 𝑦2 + 1
= lim
(𝑥,𝑥)→(0,0)
sin 3𝑥2 + 𝑥2
ln 𝑥2 + 𝑥2 + 1
=
0
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
ฎ=
𝐿′𝐻
lim
𝑥→0
cos(4𝑥2)8𝑥
1
(2𝑥2+1)
∙4𝑥
= lim
𝑥→0
cos(4𝑥2) 2(2𝑥2+1) = 2
Como los límites son diferentes se concluye que lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
sin 3𝑥2+𝑦2
ln 𝑥2+𝑦2+1
no existe.
Método de Coordenadas polares
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
Una alternativa para calcular lim
𝑥,𝑦 → 0.0
𝑓 𝑥, 𝑦 es el uso del cambio a 
coordenadas polares:
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Teorema: (Convergencia por coordenadas polares)
Suponga que 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑟 ℎ 𝜃 es el producto de dos funciones 𝑔 𝑟 y ℎ 𝜃 tales 
que lim
𝑟→0
𝑔 𝑟 = 0 y ℎ(𝜃) una función acotada, entonces
lim
𝑥,𝑦 → 0,0
𝑓 𝑥, 𝑦 = lim
𝑟→0
𝑔 𝑟 ℎ 𝜃 = 0
Ejemplo 6. Resolver lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑦3
𝑥2+𝑦2
Solución
Aplicando las propiedades de límites se obtiene la indeterminación
0
0
.
Haciendo el cambio a coordenadas polares, se obtiene que
𝑓 𝑥 𝑟, 𝜃 , 𝑦 𝑟. 𝜃 =
𝑥2𝑦3
𝑥2 + 𝑦2
=
𝑟2 cos2 𝜃 𝑟2 sen2 𝜃
𝑟2
= 𝑟2cos2 𝜃 sen2 𝜃
Verifiquemos que ℎ(𝜃) = cos2 𝜃 sen2 𝜃 es acotado:
Tenemos que ℎ(𝜃) = cos2 𝜃 sen2 𝜃 =
sin 2𝜃
2
2
=
sin2 2𝜃
4
. Como la función 
sin 2𝜃 es acotada, se sigue que ℎ es acotada. 
También tenemos que: lim
𝑟→0
𝑟2 = 0
Por tanto, lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑦3
𝑥2+𝑦2
= 0
Bibliografía: