Clase4_TP1_MatemáticaII - Carla Justiniano

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Universidad Nacional de Salta 
Facultad de Ciencias Naturales 
Carreras: IA- IRNYMA (2º Cuatrimestre 2020)
Ideas para resolver actividades 9 y 10
• Funciòn continua en un valor 𝐱 = 𝐚
Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020
• Clasificación de discontinuidades
Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020
1. Discontinuidad evitable
Una función presenta una discontinuidad evitable 
en un valor 𝒙 = 𝒂 cuando existe el límite de la 
función y no es igual al valor de la función o bien 
la función no está definida en 𝒙 = 𝒂
Prof. Alvarez Valeria – Fac. de Cs. Naturales – U.N.Sa – MATEMATICA 2- 2020
Estudiemos 𝒇 𝒙 =
𝒙𝟑−𝒙
𝒙−𝟏
1. Dominio de la función
Como es una función racional 
analizaremos el denominador
𝒙 − 𝟏 ≠ 𝟎
𝒙 ≠ 𝟏
𝑫𝒐𝒎𝒇 𝒙 : ℝ − 𝟏
2. Analizaremos la continuidad en el valor 𝒙 = 𝟏
∄𝒇(𝟏)
Diremos que la función 𝑓 𝑥 tiene una discontinuidad en 𝑥 = 1
3. Clasifiquemos el tipo de discontinuidad en 𝒙 = 𝟏
y
x
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Analizaremos el limite de la función 𝒇 𝒙 =
𝒙𝟑 − 𝒙
𝒙 − 𝟏
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝒙𝟑 − 𝒙
𝒙 − 𝟏
Debo analizar el limite en el denominador 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
1 = 1 − 1 = 0
Debo analizar el limite en el numerador 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥3 − 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥
3
−𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 = 1 − 1 = 0
Tenemos una indeterminación del tipo 
𝟎
𝟎
DEBEMOS SALVARLA
(Decidir si finalmente el limite de la función existe o no )
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𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝒙𝟑 − 𝒙
𝒙 − 𝟏
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏)
𝒙 − 𝟏
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝒙(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)
𝒙 − 𝟏
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝒙 𝒙 + 𝟏 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝒙𝟐 + 𝒙 =
Como existe el limite en 𝒙 = 𝟏 pero 𝒇 𝟏 no esta definido.
Luego la función tiene una discontinuidad evitable en 𝒙 = 𝟏
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒙
𝟐
+ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒙 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐
Como en 𝒙 = 𝟏 tenemos una 
discontinuidad evitable, se 
puede redefinir la función 
como 
𝑓 𝑥 = 
𝒙𝟑 − 𝒙
𝒙 − 𝟏
𝒙 ≠ 𝟏
𝟐 𝒙 = 𝟏
∃ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝒙𝟑 − 𝒙
𝒙 − 𝟏
y
x
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Estudiemos 𝑓 𝑥 = 𝒙
𝟐 + 𝟏 𝒙 ≠ 𝟐
𝟑 𝒙 = 𝟐
1. Dominio de la función
Como es una función definida por 
tramos , además en cada una de ella 
es una función cuadrática y la otra la 
función constante
𝑫𝒐𝒎𝒇 𝒙 : ℝ
2. Analizaremos la continuidad en el valor 𝒙 = 𝟐 donde se produce 
el cambio en la definición de la función
∃𝒇(𝟐)
Por que mirando la ramas de mi función 
𝑆𝑖 𝑥 = 2 , 𝑓(2) = 3
x
y
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Analizaremos el limite de la función 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2 + 1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥
2
+𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
1 = 22 + 1 = 5
𝑓 𝑥 = 𝒙
𝟐 + 𝟏 𝒙 ≠ 𝟐
𝟑 𝒙 = 𝟐
Recordando la definición de limite 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑓 𝑥 = 5 ≠ 3 = 𝑓(2)
Luego la función tiene una discontinuidad evitable en 𝒙 = 𝟏
Entonces tenemos que ∃ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒇 𝒙
Pero
Como en 𝒙 = 𝟐 tenemos una 
discontinuidad evitable, se 
puede redefinir la función 
como 
𝑓 𝑥 = 𝒙
𝟐 + 𝟏 𝒙 ≠ 𝟐
𝟓 𝒙 = 𝟐
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Como en 𝒙 = 𝟐 tenemos una 
discontinuidad evitable, se 
puede redefinir la función 
como 
𝑓 𝑥 = 𝒙
𝟐 + 𝟏 𝒙 ≠ 𝟐
𝟓 𝒙 = 𝟐
x
y
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2. Discontinuidad inevitable
Una función presenta una discontinuidad 
inevitable en un valor 𝒙 = 𝒂 cuando no existe el 
límite de la función
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Discontinuidad inevitable de salto finito
Cuando se presenta una 
discontinuidad inevitable y 
existen los limites laterales 
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Estudiemos 𝑓 𝑥 = 
𝟑𝒙 − 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟐
−𝒙 + 𝟔 𝑠𝑖 𝒙 > 𝟐
1. Dominio de la función
Como es una función definida por 
tramos , además en cada una de ella 
vemos que tenemos una función 
lineal
𝑫𝒐𝒎𝒇 𝒙 : ℝ
2. Analizaremos la continuidad en el valor 𝒙 = 𝟐 donde se produce 
el cambio en la definición de la función
∃𝒇(𝟐)
Por que mirando la ramas de mi función 
𝑆𝑖 𝑥 = 2
𝑓 2 = 3.2 − 1 = 5
x
y
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Analizaremos el limite de la función 
𝑙𝑖: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
3𝑥 − 1 = 3 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑥 − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
1 = 3.2 − 1 = 5
En este caso debemos analizar los limites laterales 
Luego la función tiene una discontinuidad inevitable en 
𝒙 = 𝟐 de salto finito
Como 
∄ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒇 𝒙
𝑓 𝑥 = 
𝟑𝒙 − 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟐
−𝒙 + 𝟔 𝑠𝑖 𝒙 > 𝟐
𝑙𝑑: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
−𝑥 + 6 = − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2+
6 = −2 + 6 = 4
𝑙𝑖 ≠ 𝑙𝑑 Entonces por teorema 
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Discontinuidad inevitable de salto infinito
Cuando se presenta una 
discontinuidad inevitable y no 
existen alguno de los limites 
laterales o ambos
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Estudiemos 𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙 − 𝟏
1. Dominio de la función
Como es una función racional 
analizaremos el denominador
𝒙 − 𝟏 ≠ 𝟎
𝒙 ≠ 𝟏
𝑫𝒐𝒎𝒇 𝒙 : ℝ − 𝟏
2. Analizaremos la continuidad en el valor 𝒙 = 𝟏
∄𝒇(𝟏)
Diremos que la función 𝒇 𝒙 tiene una 
discontinuidad inevitable en 𝒙 = 𝟏 de salto infinito
y
x
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Analizaremos el limite de la función 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝟏
𝒙 − 𝟏
Debo analizar el limite en el denominador 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
1 = 1 − 1 = 0
Debo analizar el limite en el numerador 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
1 ≠ 0
∄ 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒇 𝒙
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Analizaremos el limite laterales de 
la función 𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙 − 𝟏
Analizaremos el limite en 𝑥 = 1 para valores superior (limite por 
derecha ) e inferiores (limite por izquierda) 
Pensando en el 𝑥 = 1,00001 Pensando en el 𝑥 = 0,99999
𝒍𝒅: 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏+
𝟏
𝒙 − 𝟏
= +∞ 𝒍𝒊: 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏−
𝟏
𝒙 − 𝟏
= −∞
Número negativo cercano a cero Número positivo cercano a cero 
El numerador de ambos tiene a un valor positivo
10 2
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Pizarra de zoom 
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• Definición de función continua
• Definimos cuando una función presenta una discontinuidad
• Clasificación de discontinuidades
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Pizarra de zoom 
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Pizarra de zoom 
Recordar que 
las asíntotas 
son 
ecuaciones 
de las rectas 
(dibujas 
como una 
línea 
punteada) , 
en necesarios 
marcarlas e 
indicarlas en 
la grafica 
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Pizarra de zoom 
Recordar que 
las asíntotas 
son 
ecuaciones 
de las rectas 
(dibujas 
como una 
línea 
punteada) , 
en necesarios 
marcarlas e 
indicarlas en 
la grafica 
Con los datos 
podemos 
obtener otras 
graficas que 
cumplen con las 
características 
solicitadas
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• A partir de datos armar una representación aproximada de la grafica