10-Clase de distribuciones muestraless - Gonzalo Sosa_

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muestral
muestrales.
- 
Una representa la forma de las cosas 
con respecto a un aleatorio en 
particular, que puede identificarse a de 
una medible X. 
- 
La manera en que ocurren las cosas en 
con X puede definirse por un modelo de 
probabilidad que recibe el nombre de 
 de probabilidad de la . 
2 
Los en las cartas de una 
baraja. 
Las estaturas de los residentes de una 
ciudad. 
Las longitudes de los peces en un lago 
. 
finita 
Las observaciones obtenidas al medir 
diariamente la 
desde el pasado hasta el futuro. 
Las mediciones de la profundidad de 
un lago desde cualquier . infinita 
3 
Cada en una 
 es un valor de una 
variable aleatoria tiene 
alguna de 
probabilidad 
 
4 
Ejemplos
Si se inspeccionan que salen de una de 
ensamble para buscar defectos, entonces cada 
en la ser un valor 0 o 1 de la variable 
aleatoria de Bernoulli con una de 
probabilidad 
p(x) = P(X = x) = px(1 p)1 x con x {0, 1} 
donde 0 indica un articulo sin defecto y 1 indica un articulo 
defectuoso. De hecho, se supone que , la probabilidad de 
que cualquier articulo este defectuoso, permanece constante 
de una prueba a otra. 
Las duraciones de las de almacenamiento son 
valores que toma una variable aleatoria continua que 
tiene una normal. 
5 
De ahora en adelante, cuando nos 
refiramos a una a 
una o, en general, a 
la a una 
 cuyas observaciones son 
valores de una variable aleatoria que 
tiene una binomial, una 
 normal o la de 
probabilidad 
6 
 
Interesa llegar a 
conclusiones respecto a 
una cuando 
es imposible o poco 
 conocer todo el 
conjunto de 
observaciones que la 
constituyen 
Al intentar controlar la cantidad 
de los componente activos en 
probarlos todos si tenemos que 
dejar algunas para venderlos. 
Los costos desmesurados que 
hacerlo. 
Realizar un muestreo a fin de 
considerar un subconjunto de 
observaciones de la 
que nos ayude a realizar 
inferencias respecto a ella. 
7 
Muestra
Es un subconjunto de una .
Para que las inferencias que hacemos sobre la
a partir de la muestra sean , debemos
obtener muestras que sean representativas de ella.
Cualquier procedimiento de muestreo que produzca
inferencias que sobreestimen o subestimen de forma
consistente alguna de la
sesgado. Para eliminar cualquier posibilidad de sesgo
en el procedimiento de muestreo es deseable elegir una
muestra aleatoria, lo cual significa que las
observaciones se realicen de forma independiente y al
azar.
8 
: Sea X1, X2, , Xn de n 
variables aleatorias. Se dice que forman una 
muestra aleatoria de n si satisfacen: 
Las Xi son v. a. independientes 
Las Xi tienen la misma de 
. 
Si se cumplen 1) y 2) entonces se dice que las 
Xi son variables aleatorias independientes e 
 distribuidas (iid) 
 
9 10 
: Cualquier de 
las variables aleatorias que forman 
una muestra aleatoria se llama 
. 
11 
Muestrales
Como un es una variable aleatoria que 
depende solo de la muestra observada, debe 
tener una de probabilidad. 
: La de probabilidad de un 
 se denomina muestral. 
La muestral de un 
depende de la de la del 
 de las muestras y del de 
 de las muestras. 
12 
muestral
13 
 
 
 
14 
CENTRAL
15 
Como 
mostramos una variable 
que presenta valores 
distribuidos de forma 
muy . 
Claramente no normal. 
 
Saquemos muestras de 
usemos la media de cada 
muestra para estimar la 
 
16 
Cada muestra ofrece un 
resultado diferente: La media 
muestral es variable aleatoria. 
 
a la normal que la original. 
 
 menos dispersa. A 
su . del 
estimador media se le 
suele denominar error . 
17 
Al aumentar el 
n, de la 
muestra: 
 
La normalidad de las 
estimaciones mejora 
 
El 
disminuye. 
18 
Puedo garantizar medias 
muestrales tan cercanas 
como quiera a la 
verdadera media, sin 
que tomar n bastante 
grande 
 
19 
Dada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de 
 n, y calculamos los promedios muestrales, 
entonces: 
dichos promedios tienen 
aproximadamente normal; 
La media de los promedios muestrales 
es la misma que la de la variable original. 
La de los promedios disminuye en un 
factor de n (error ). 
Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n 
tiende a infinito. 
 
Este teorema justifica la importancia de la 
normal. 
 Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie 
sobre una muestra grande (n>30) nos va a aparecer de 
manera natural la normal. 
20 
Cuando queramos hacer inferencia
la normal aparece de forma casi
inevitable.
Dependiendo del problema, podemos encontrar
otras (asociadas):
2 (chi cuadrado)
t- student
Estas distribuciones resultan directamente de
operar con distribuciones normales.
aparecen como distribuciones de
ciertos . 21 22 
La curva que genera la variable aleatoria, es a la
derecha, como se puede ver en las siguientes :
La esperanza es n, y la varianza es 2n.
n=6 
n=10 
23 24 
Para el de probabilidades es preciso recurrir a tablas que, 
al igual que en el caso de la N(0;1), proporcionan valores 
aproximados. 
La forma de la t-Student es semejante a la normal 
pero achatada, campaniforme, con media cero (0), 
pero con mayor probabilidad de obtener valores extremos. Es 
bueno notar, que a medida que el de la muestra ( ) 
crece, la curva t-Student se normaliza. 
 
25 26 
Sean X1, X2,..., Xn variables aleatorias 
independientes normales con media y 
 . Sean 
 y 
Entonces la variable aleatoria tiene una 
 con 1 grados de libertad. 
 
27 
n 1 grados de libertad se debe a que la media 
muestral es el promedio de n variables muestrales, 
 
La media muestral tiene la propiedad de que la 
suma de todos los valores de los datos debe ser 
igual a n veces la media muestral, donde n es el 
 de valores en el conjunto de datos. 
 
Debido a esta lineal las con i =1, .., n son 
conjuntamente no independientes. n 1 
variables aleatorias son independientes y 
libremente. La de la n- variable se 
determina para satisfacer la igualdad anterior. 
Por ejemplo, si el conjunto de datos tiene 10 valores, la suma de los 
10 valores debe ser igual a la media x 10. Si la media de los 10 
valores es 3.5, esta requiere que la suma de los 10 
valores debe ser igual a 10 x 3.5 = 35. 
Con esa el primer valor del conjunto de datos 
libremente. Independientemente del valor que sea, es posible que 
la suma de los 10 tenga un valor de 35. El segundo valor 
 libremente, debido a que independientemente del 
valor que escoja, aun permite la posibilidad de que la suma de todos 
los valores sea 35. 
De hecho, los primeros 9 valores pueden ser cualquier 
incluyendo los 2 ejemplos siguientes: 
34, -8.3, -37, -92, -1, 0, 1, -22, 99 
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 
Pero para que los 10 valores sumen 35 y tengan una media de 3.5, el 
10mo valor no puede variar. Debe ser un : 
34, -8.3, -37, -92, -1, 0, 1, -22, 99 -----> El 10mo valor ser 61.3 
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 ----> El 10mo valor ser 
30.5 
 
MUESTRAL
Sea X1, X2, , Xn una muestra aleatoria. Si no conocemos la
de la no podemos, en general, calcular la
de los pero se en cualquier
caso, determinar la esperanza y varianza (llamados valores
previstos) de los principales en de los
de la de la .
Pueden presentarse los siguientes casos:
1. que la muestra aleatoria se elija con reemplazo y sea .
Los valores previstos se calculan de la siguiente manera:
donde E(X) y D2(X) son poblacionales
 
30 
2. que la muestra aleatoria se elija sin reemplazo y sea .
Los valores previstos se calculan de la siguiente manera:
2
n,N es X
2
31 
 
A partir de ahora supondremos que la tiene una 
 normal, ya que los resultados que vamos a obtener por 
el Teorema Central del lo requieren. Si ni lo tuviera una 
 cuando la muestra que tomemos sea de 
grande. 
Sea X1, X2 Xn una muestra aleatoria tales que 
 
 
Entonces, 
 
 
(Nota: puede asumir cualquier valor, no necesariamente debe ser 
grande, pues la muestra proviene de una normal). 
 32 
Dada una finita de N,formada por elementos 
de dos clases, N1 de la clase 1 y N2 de la clase 2 (o sea N1 + N2 = N). 
Se toma una muestra de n e interesa el de 
elementos de la clase 1 presentes en la muestra (dicho 
llamaremos de . Definimos una variable aleatoria X 
que indica el de elementos de la clase 1 presentes en la 
muestra, o sea indica el de . 
Llamaremos poblacional de a 
) 
Llamaremos muestral de a 
Los valores posibles de son 
Si queremos calcular: 
 
 
33 
 
 ; 
34 
(n 100
DeMoivre-Laplace.
n
qp
p; N
n
p
35 
muestral
Si se extrae una muestra aleatoria de de una 
normal con media (desconocida) y varianza 2, y se calcula la 
cuasivarianza muestral, se obtiene un valor del . 
Tenemos que: 
 
De donde: 
 
Dividiendo ambos miembros por obtenemos: 
 
 
Entonces: 
 son variables aleatorias estandarizadas, con i =1, ,n 
Todas tienen una normal ya que se 
distribuyen normalmente. 
Son independientes debido al muestreo aleatorio simple. 
 es la suma de cuadrados de variables aleatorias normales 
independientes. 
 
: Sea X1; X2; ; Xn una muestra aleatoria con media y 
varianza 2, ENTONCES el tiene 
 2 con (n 1) grados de libertad.