5-Trigonometría _Teoría y Práctico - Agostina Salas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
Facultad de Ciencias Económicas 
Módulo de Matemática – 2020 
 
 
 
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Daniel Luis Mosqueda (2020) – FCE – UNNE 
 
Unidad N° 5: Trigonometría 
 
Contenidos: Ángulos. Sistema sexagesimal y radial. Razones trigonométricas. 
Circunferencia trigonométrica. Signo de las razones trigonométricas. Teorema de 
Pitágoras. Identidades trigonométricas fundamentales. 
 
Ángulos 
Cuando dos semirrectas parten de un mismo origen como S1 y S2 en el siguiente 
gráfico definen una porción del plano, a la que llamamos ángulo de origen O y lados S1 
y S2 
 
Un ángulo se puede obtener haciendo girar la semirrecta S1 hacia S2. Se puede girar 
o En el sentido de las agujas del reloj al que llamamos sentido horario u orientación 
negativa. 
o Sentido contrario al de las agujas del reloj: sentido antihorario u orientación 
positiva. 
 
Medición de ángulos 
Con frecuencia se utilizan dos formas de medición: sistemas sexagesimal (grados) 
sistema circular o radial (radianes). 
Grados 
Para medir los ángulos en grados, comenzamos midiendo un ángulo de un giro 
completo. Si el giro está dado en sentido antihorario diremos que la medida del giro es 
de 360º; si es en el sentido horario la medida negativa –360º. Un grado (1º) es 
1
360
de 
vuelta. 
Las otras medidas son proporcionales: medio giro 180º (ángulo llano), ángulo recto 90º 
(ángulo recto), etc. 
 
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Aunque se podrían obtener subdivisiones de un grado, se utiliza la notación de minutos 
y segundos. Un minuto denotado por 1’ se define como 
1
60
 de grado. Un segundo (1’’) 
es 
1
60
de minuto. Para resumir 1º = 60’ , 1’ = 60’’ 
 
Radianes 
Para comprender el concepto de radián consideremos un ejemplo concreto en una 
circunferencia de radio 3 (o cualquier otro número). Cada vez que trazamos un ángulo 
con centro coincidente con el centro de la circunferencia queda determinado un arco de 
circunferencia que tiene una medida. Un ángulo  de un radián es aquel que tiene (en 
este caso) un arco de longitud 3 unidades, o sea la medida del radio. 
 
Un radián es la medida de un ángulo tal que el arco definido en la circunferencia tiene 
longitud igual al radio. 
 
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Ahora, ¿cuánto mide un ángulo de un giro? Sabemos que la longitud de la 
circunferencia es 2r, siendo r el radio de la circunferencia. Por lo tanto un ángulo de un 
giro mire 2 radianes (rad). Y esto nos lleva a la siguiente equivalencia: 
360º 2 rad 
Si dividimos ambos miembros por 2, tenemos: 
180º rad 
 
Pasaje del sistema sexagesimal al radial 
Para convertir un ángulo  expresado en grado a radianes, podemos aplicar dos 
procedimientos: 
1) Aplicar regla de tres simple directa: 
Por ejemplo, para un ángulo de 45º: 
 
360º _____ 2 rad
45 º
45º _____ x x

 
.2 rad
360 º

1
90

360 4
rad= rad
4


 
2) Utilizar fórmula de conversión 
Como 360º = 2 rad. Dividiendo ambos miembros por 360º se obtiene: 1º rad
180º


Luego, para 45º es: 45º 45.1º 45. rad= rad
180º 4
 
  
 
Pasaje del sistema radial al sexagesimal 
Aquí también es posible aplicar dos procedimientos: 
1) Regla de tres simple directa: 
Por ejemplo, para un ángulo de rad
12

 
 
360º _____ 2 rad
360º.
_____ rad
12
x x



 
rad
12
2 rad
30º
=15º
2

 
 
 
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2) Utilizar factor de conversión 
Como 360º = 2 rad. Dividiendo ambos miembros por 2 se obtiene: 1 rad 
180º


Luego, para rad
12

 es: rad
12
 

12
15
1
180
.
º

15º 
Usualmente, cuando se dan las medidas de los ángulos en radianes, se 
omite la expresión “rad”, siempre que no genere confusión. 
 
Podemos considerar una tabla de equivalencias de las medidas: grados versus radianes. 
Grados 0º 30º 45º 60º 90º 120º 180º 360º 
Radianes 0 
6

 
4

 
3

 
2

 
2
3

  2 
 
Razones trigonométricas 
Consideremos un triángulo rectángulo A BC y consideremos uno de sus ángulos 
agudos, por ejemplo . 
 
 
Las razones entre las medidas de los distintos lados generan las razones que se 
denominan seno, coseno y tangente del ángulo . 
Seno de : 
AB
senα=
AC
catetoopuestoa
hipotenusa

 
Coseno de : 
BC
cosα
AC
catetoadyacentea
hipotenusa

  
Tangente de : 
AB
tgα
BC
catetoopuesto a
cateto adyacente a


  
 
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A partir de estas razones principales, definimos otras tres, denominadas recíprocas. 
Secante de : 
AC
secα=
AB
hipotenusa
catetoopuesto a
 
Cosecante de : 
AC
cosecα
BC
hipotenusa
cateto adyacente a
  
Cotangente de : 
BC
tgα
AB
cateto adyacente a
catetoopuesto a


  
 
Razones trigonométricas para un ángulo cualquiera 
Las definiciones que hemos definido para ángulos agudos (menores a 90º) pueden 
extenderse a todo tipo de ángulo. Vamos a considerar en un sistema de coordenadas 
cartesianas, una circunferencia unitaria (radio 1) de tal manera que su centro coincida 
con el origen del sistema. Esta circunferencia se denomina circunferencia 
trigonométrica; además sea un ángulo  con vértice en el origen y lado inicial en la 
semieje positivo del eje x. 
Si  es agudo, genera un triángulo OPQ al intersecarse la circunferencia en el punto P. 
Las coordenadas de los vértices son 0 0P( ; )x y , 0Q( ;0),O(0;0)x 
 
 
Notemos que OP es el radio de la circunferencia y por lo tanto OP r 1  . Entonces el 
seno de  está definido como: 
 
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0
0
PQ
senα
1OP
y
y   
De la misma forma definimos: 
0
0
OQ
cosα
1OP
x
x   
 0 0
0
PQ
tgα , 0
OQ
y
x
x
   
Vemos que si trabajamos sobre una circunferencia de radio 1, cada ángulo  determina 
un punto sobre ella: 0 0P( ; )x y . Este punto es la referencia para definir las razones 
trigonométricas principales del ángulo. De esta manera vamos a extender la definición 
de razón trigonométrica de un ángulo cualquiera. 
Si 190º <α 180º Si 180º < 270º  
 
1 1senα y , 1 1cosα x 
 
2sen y  , 2cos x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Si 270º < 360º  
 
3sen y  , 3cos x  
 
El seno de un ángulo está dado por la coordenada y y el coseno por la 
coordenada x. 
 
Signo de las razones trigonométricas 
Un sistema de coordenadas cartesianas divide al plano en cuatro regiones 
denominadas cuadrantes: I, II, III, IV 
 
 
Teniendo en cuenta lo hallado, observamos los signos de las funciones trigonométricas. 
Para la tangente tendremos en cuenta que es el cociente de coordenadas. 
 
 
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 Seno Coseno Tangente 
C
u
a
d
ra
n
te
s 
I + + + 
II + – – 
III – – + 
IV – + – 
 
Por supuesto, para calcular las razones trigonométricas utilizamos la calculadora 
científica, con las teclas sin , cos , tan se indican el seno, coseno y tangente 
respectivamente. Ahora bien,dado el valor de una razón trigonométrica, se puede 
conocer el valor del ángulo presionando previamente la tecla shift y luego la tecla 
sin , cos , tan según corresponda. 
 
Ejemplos: hallar el seno, coseno y tangente del ángulo 120º 
sen 120º  0,87 cos 120º = –0,5 tg 120º  –1,73 
Si   II cuadrante y sen  = 
2
2
, halle el valor de . 
Utilizando la calculadora y presionando shift sin y luego introduciendo 
2
2
, se tiene 
que  = 45º 
 
Teorema de Pitágoras 
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual 
a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. 
 
Simbólicamente: 2 2 2a b c  
Ejemplo 
Calcular los lados y ángulos que faltan en el siguiente triángulo 
 
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Solución: 
Cálculo de a: 
2
2 2 2 2 2 4 25 25 51
3 9 9 3
a b c a a
 
         
 
 
Cálculo de : 
1 3 3
tgα α arctgα 37º
4 4 4
3
 
     
 
 
Cálculo de :  = 90º – 37º = 53º 
 
Identidades trigonométricas fundamentales 
Identidades del cociente 
 Si realizamos el cociente entre el seno y el coseno: 
sen
 cos
catetoopuestoa
hipotenusa




catetoadyacentea
hipotenusa

tg
catetoopuestoa
catetoadyacentea



  
 
cos
cot g
 sen



 
 
Identidades recíprocas 
1
cosec
 sen


 
1
sec
 cos


 
1
cotg
 tg


 
 
 
 
 
 
 
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Identidad Pitagórica 
A partir del teorema de Pitágoras tenemos la siguiente relación 2 2sen cos 1   , de 
la que se deducen: 
2sen 1 cos    2cos 1 sen    
 
Ejemplo: Si cos  = 
2
2
, y   IV cuadrante, halle las restantes razones 
trigonométricas fundamentales. 
Solución: 
 
2
3 3 1
sen 1 1
2 4 2

 
        
 
, elegimos el valor negativo porque el ángulo 
pertenece  al IV cuadrante (ver cuadro de signo de razones trigonométricas) 
 
1
sen 2
tg
cos




 
3
2
1 3
33
    
 
Bibliografía 
Duarte, B. (2005). Matemáticas para ingresar a la universidad. Buenos Aires, 
Argentina: Granica. 
Sullivan, M. (2006). Álgebra y trigonometría.7° edición. Naucalpan de Juárez, México: 
Pearson Educación. 
 
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Guía de Trabajos Prácticos N° 5 
ACTIVIDAD 1 
Expresa las medidas de los siguientes ángulos en el sistema sexagesimal: 
Ejemplo: expresar el ángulo rad
3
2
 
2 360° 
 
3
2
 
 
 
 
 

 
 
 
 
Sistema Radial Sistema Sexagesimal 
rad
3

 
 
rad
4
3
 
 
rad
2
5
 
 
 
 
ACTIVIDAD 2 
Expresa las medidas de los siguientes ángulos en el sistema circular (radial): 
Ejemplo: expresar el ángulo 45°
 
 360° 2 
 45° 
 
 
 
 
 rad
4
1
 
 
 
 
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Sistema Sexagesimal Sistema Circular 
60°
 
270° 
300° 
 
 
ACTIVIDAD 3 
Halla el valor de los lados y ángulos faltantes en los siguientes triángulos rectángulos: 
 a) b) 15cm 
 β α 
 11cm x z 
 17cm β 
 40° 
 y 
 
ACTIVIDAD 4 
Observar las siguientes figuras y calcular: 
a) Una escalera mide 13 m de larga. Se encuentra 
inclinada sobre una pared con un ángulo de elevación 
de 75°. ¿Cuál es la distancia del pie de la escalera a la 
pared? ¿Qué altura alcanza la escalera desde el piso 
hasta el punto de apoyo? 
 
b) Desde un velero se observa a una persona en la cima 
de un faro con un ángulo de elevación de 25°, donde 
la altura del mismo es de 66m. Determinar: la distancia 
del velero al pie del faro y la distancia de la persona al 
velero. 
 
 
 
 
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ACTIVIDAD 5 
a) Halla el valor de las restantes funciones trigonométricas sabiendo que: 
i)
1
cos
2
  ;   I cuadrante 
ii) 
1
sen
3
   ;   III cuadrante 
iii) 
3
cos
2
   ;   II cuadrante 
 b) Determina el ángulo  en cada caso del ítem a). 
 
 
Actividades Complementarias 
ACTIVIDAD 1 
a) Halla el valor de las restantes funciones trigonométricas sabiendo que: 
i) 
 
 
 ; α  III cuadrante 
ii) 
 
 
 ;   III cuadrante 
iii) 
√ 
 
 ;   IV cuadrante 
 b) Determina el ángulo  en cada caso del ítem a). 
 
ACTIVIDAD 2 
Hallar el valor de los lados y ángulos faltantes en los siguientes triángulos rectángulos: 
 a) b) 64cm 
 α α 
 b 34cm 36cm 
 x β 
 60° 
 a 
 
 
 
 
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 ACTIVIDAD 3 
 Expresa las medidas de los siguientes ángulos en el sistema sexagesimal o circular, 
según corresponda: 
 
Sistema Sexagesimal Sistema Circular 
 
 
rad
2
3
 
340° 
400° 
 
rad
8
7
 
720° 
 
rad
4
