Reporte de vector en el plano y interpretacion geometrica (CALCULO VECTORIAL )

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Definición de un vector en el plano y en el espacio y su
interpretación geométrica
Ingenieria en Administracion (Instituto Tecnológico de Gustavo A Madero)
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Definición de un vector en el plano y en el espacio y su
interpretación geométrica
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Calculo vectorial.
Tema: investigación de temas
unidad 1, Vectores en el espacio.
Maestro: Alejandro
Alumno: Eduardo García Tobon
Numero de control: 191130459
Ingeniería industrial
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Índice 
Introducción…………………………………………………………………………………………3
Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación
geométrica……………………………………………………………………………………………4,7
Álgebra vectorial y su geometría…………………………………………………………..8
Producto escalar y vectorial………………………………………………………………….9
Ecuación de la recta……………………………………………………………………………..10,11
Ecuación del plano………………………………………………………………………………..12
Aplicaciones………………………………………………………………………………………….13,14
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Vectores en el espacio
Introducción. 
El termino de vector es muy diverso y su aplicación se evidencia en los
diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento
de una estructura algebraica denominada espacio vectorial. Este blog trata de
mirar el mundo que nos rodea e inventar distintas formas para simular ese
mundo con código, es en relación con la representación geométrica de los
números llamados imaginario, como las operaciones vectoriales se
encuentran por primera vez implícitamente realizadas. En física, un vector es
un concepto matemático que se utiliza para describir magnitudes tales como
velocidades, aceleraciones o fuerzas. 
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Definición de un vector en el plano y en el espacio y
su interpretación geométrica.
Un vector libre, geométricamente puede ser caracterizado por un segmento orientado en el
espacio, el cual contiene:
Un origen, a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del vector.
Una dirección o línea de acción, coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra
recta paralela.
Un sentido, que viene determinado por la punta de brecha localizada en el extremo del vector.
Definición de un vector en R2 , R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn . Las
cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación, tales como fuerza y
velocidad son ejemplos de vectores. Un vector se representa por un segmento de línea recta con
dirección y longitud dadas. En la figura, P1 es el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, y la
cabeza de la flecha indica la dirección del vector. 
Un par ordenado de números reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector representado
por el segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un sistema de coordenadas
rectangulares. El vector determinado por el par ordenado de números reales (a1, a2) tiene la
propiedad de que si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje
x, y después recorremos una distancia dirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.
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Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas paralelas a los ejes de
coordenadas por el punto inicial B y por el por el punto terminal C, podemos encontrar la pareja
ordenada (a1, a2) que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 = c2 - b2.
Por tanto dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre los vectores bidimensionales
(R2) con P como punto inicial y pares ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremos
a una pareja de números reales.
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VECTOR EN R2
 Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado de números reales (a1, a2), y la
representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por
La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos
puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte
positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a
la siguiente figura vemos que 
VECTORES EN R 3
Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera:
Geométricamente a un vector de R 3 se representa en el espacio como un segmento de recta
dirigido.
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Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2
tenemos una representación del vector
Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una
representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como
punto de partida.
Álgebra vectorial y su geometría.
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la multiplicación de escalares por vectores, el producto escalar o producto punto y el producto
vectorial se explicarán más adelante.
Si se tienen dos vectores #«a y #«b , con magnitud diferente de cero y en un plano, de- fingimos
geométrica mente la suma del vector #«a con el vector #«b cuando colocamos en el final del
vector #«a con el origen del vector #«b , la resultante es un nuevo vector que parte del origen del
vector #«a y termina en el final del vector #«b , tal resultante la denotamos como #«a + #«b , este
procedimiento se llama regla del triángulo, ahora si se forma un paralelogramo con los dos
vectores y realizamos la operación suma tal este proceso se denomina la regla del paralelogramo,
de esta figura se observa que #«a + #«b = #«b + #«a ; siendo esta propiedad denominada
conmutativa de la suma de vectores.
Adherencia vectorial Una de las características que emplearemos en el desarrollo de la Geometría
vectorial es la de poder adherir un figura geométrica un grupo de vectores de tal manera que se
pueda realizar un estudio de propiedades y llegar a demostraciones geométricas,a muestra un
polígono sin adherencia vectorial, y deseamos estudiarlo no desde una visión geométrica sino
vectorial, entonces llegamos a la figura (b). La gráfica de un pentágono de lados a, b, c, d, e si
adherimos o asociamos a cada lado del polígono un vector cuya magnitud corresponde a la
longitud de cada lado y cuya dirección se ajusta a forma de la figura (el sentido se escoge
libremente), entonces quedan claramente definidos los vectores 
 Producto escalar y vectorial.
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La multiplicación de un vector por otro vector puede ser definido (de acuerdo con el producto que
se trate) como:
Un escalar Un vector
El producto escalar de dos vectores
A = (a1, a2) B = (b1, b2) 
A B = a1, b1 + a2, b2ˑ
También se denomina producto punto de 2 vectores
En física e ingeniería para resolver problemas con vectores tenemos que recordar lo siguiente:
La magnitud |A| y la dirección deben ser especificadas si se pude encontrar el vector AӨ
Ax = |A|cos Ay= |A|senӨ Ө
A = Axi + Ayj
Si se da |A| y podemos calcular Ax y AyӨ
Si se da x, Ax o Ay se puede calcular |A|Ө
Si se da Ax y Ay se puede calcular |A| y Ө
Si A = Axi + Ayj y B = Bxi+Bxj entonces A+B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j
A= (0, 3, 1)
B= (0, 1, 2)
Estos vectores están en el plano yz por lo tanto deben de estar en la dirección perpendicular al
plano yz osea en la dirección de x además de todo esto i es el vector unitario en la dirección de fx
|B|= v(0^2+1^2+2^2 )=v5
La magnitud del producto cruz de dos vectores es:
proyección. 
La proyección de un vector sobre cualquiera de las direcciones determinadas por es simplemente
el vector formado, multiplicando la componente de en la dirección especificada por un vector
unitario en esa dirección
Ecuación de la recta.
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La recta se puede definir como el conjunto infinito de puntos alineados en una sola dirección.
Observada en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal.
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea
(par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano)es que podemos
encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se
denomina Ecuación de la Recta.
Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la
línea recta que se quiere representar algebraicamente. Por eso hay varias formas de representar la
ecuación de la recta.
1. – Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta
sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas
(y). 
Ecuación pendiente ordenada
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.
Veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la
recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula:
y = mx + n
m: Pendiente
n: Ordenada al origen de la recta
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas
variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben
considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción en el eje de
las ordenadas (y).
Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite
obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de
posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).
 Ecuación Punto - Pendiente
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b)
(corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la
recta de la forma 
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y − y1 = m(x − x1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que
interceptará al eje y en el punto (0, 7).
Ecuación del plano.
enunciado
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Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre y que contiene a un punto P, cuya
posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector .
Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen O. (Unidades del SI
ecuación en el plano 
La propiedad que caracteriza a cada punto Q del plano es que el vector que va del punto P al Q es
ortogonal al vector normal al plano, esto es,
Si el vector de posición del punto Q respecto al origen es
el vector de posición relativo al punto P es (midiendo todas las distancias en metros)
La condición de ortogonalidad al vector normal al plano la podemos desarrollar escribiendo el
producto escalar como suma de productos de componentes
lo que nos da la ecuación implícita del plano
La distancia de un punto O a un plano Π, se toma como la mínima de las distancias de O a los
diferentes puntos del plano. El punto que se encuentra a la mínima distancia es el que se halla en
la intersección del plano con la recta normal a él que pasa por O. Sea A este punto de intersección. 
 
pero hemos dicho antes que la proyección sobre este vector es la misma para todos los puntos del
plano, esto es, que no precisamos determinar la posición del punto A, sino que cualquier otro
punto del plano nos vale para calcular esta distancia. Por ejemplo, el punto P que ya conocemos
Aplicaciones.
El vector es un tema que posee sus aplicaciones esenciales tanto en la física como en las
Matemáticas.
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El vector forma la base del cálculo vectorial en Matemáticas y además es un concepto importante
en Física.
Aplicación de los Vectores en Física
Magnitud y Dirección de la Fuerza Resultante: Si la fuerza F1 , F2 ,F3 y así sucesivamente hasta Fn
actúa sobre una partícula, entonces la fuerza resultante actuando en la partícula es F = F1+F2+F3+
… + Fn .
Aquí, el módulo de F será de la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula.
Trabajo: Si una partícula se desplaza desdeel punto A al punto B bajo la influencia de la fuerza ,
entonces el trabajo W realizado por elvector fuerza F está dado por W = F . AB , lo cual es igual a |
F| AB cos ( ), donde es el ángulo entre y , lo que a su vez es equivalente a (magnitud de la fuerza) x
(desplazamiento en la dirección de la fuerza).
Velocidad relativa: Si las velocidades de las partículas A y B son y , respectivamente, entonces la
velocidad de B respecto a A es - y la velocidad de A respecto a B es - .
Rapidez: Aunque la velocidad es en sí misma una cantidad escalar, esta es una aplicación física del
vector ya que representa el valor absoluto de un vector, el cual es el vector velocidad. Dado un
vector velocidad, la rapidez puede ser calculada mediante el cálculo del valor absoluto del mismo
como | |. Esto puede escribirse con mayor precisión como, s = | d/ t | Aquí, d es la cantidad de
desplazamiento y t es la diferencia de tiempo desde cuando la partícula se encontraba en la
posición final hasta cuando la partícula se encontraba en la posición inicial.
Velocidad: El vector velocidad representa la razón de variación del movimiento de una partícula de
una posición a otra. La fórmula para calcular la velocidad de una partícula es, v = d / t. Podemos
observar que es la misma fórmula para la rapidez de una partícula, excepto por el hecho de que
aquí no se determina el valor absoluto de la solución.
Además de estas aplicaciones físicas, un vector o un espacio vectorial puedentambién tener
aplicaciones geométricas:
Recta: Asuma que un vector se encuentra paralelo a otro vector, digamos . Entonces la ecuación de
la recta que representaría una sola recta sería = k . Aquí k es una cantidad escalar.
Una ecuación vectorial que represente esta recta sería,
r = a + k(b - a)
El valor de k puede variar hasta . Esta variación en el valor de k, mueve el punto P de una posición
a otra, por ejemplo, cuando k = 0, entonces P = A.
Plano: De la misma forma, también puede definirseuna ecuación vectorial para un plano. Suponga
un vector que yace sobre el plano, sea este vector .Entonces la ecuación que representa este
vector es = r - a.
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Sea el vector que yace normal al plano, entonces se puede afirmar que, (r - a). n = 0. Por lo tanto, la
ecuación vectorial que representa tal plano sería, r.n = a.n . También esto puede escribirse como,
r.n = . Aquí es un término constante.
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