REPORTE Y EJERCICIOS DE CURVAS PLANAS (CALCULO VECTORIAL )

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MIS HERMOSOS
EJERCICIOS DE LA
UNIDAD 2 
Instituto Tecnológico de
Estudios Superiores de
Zamora
Ingeniería en 
Sistemas 
Computacionales
 
C A L C U L O V E C T O R I A L
3°A
 
 
Docente : Oziel Arrellano 
INTEGRANTES :
 
AMÉZQUITA VALDÉS MARCOS OSWALDO 
(21010257)
 
ARIAS MORA ERICK DANIEL 
(21010260)
 
LOPEZ QUESADA CARLOS EMMANUEL
(21010292)
 
PALOMAR DELGADO DAMIAN SALVADOR 
(21010302)
 
 
 
 
 
10 de octubre 
del 2022
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
 
 Introducción 
 
El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multi 
variable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y 
técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física. 
Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el 
espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. 
.En el presente trabajo encontraras ecuación paramétrica de la línea recta, curvas 
planas, ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica, 
derivada de una función dada paramétricamente, coordenadas polares, graficación 
de curvas planas en coordenadas polares. 
En este capítulo estudiaremos nuevas formas para definir curvas en el plano. En vez de 
visualizar una curva como la gráfica de una función o de una ecuación, consideraremos un 
modo más general para representar una curva Las ecuaciones paramétricas permiten que 
tanto x y y dependan de una tercera variable. Científicos e ingenieros utilizan las ecuaciones 
paramétricas para analizar variables que cambian a lo largo del tiempo. El sistema de 
coordenadas polares permite graficar con gran facilidad círculos, rosas polares, espirales y 
otras curvas que no son funciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
2. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 
 
2.1. Curvas planas y ecuaciones paramétricas. 
Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que 
representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término 
curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, 
aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin 
formar ángulos. 
Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los 
casos de movimiento rectilíneo. Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea 
recta es un caso particular de curva. Curva: Es el caso límite de poligonal en que los saltos 
discretos de los segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, 
también llamada de simple curvatura por el ángulo de contingencia, si tiene todos sus puntos en 
un mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ángulos el de 
contingencia y el de torsión, en caso que todos sus puntos no estén en un mismo plano. 
A continuación, se van a definir las principales características de las curvas planas. La recta 
secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El 
orden de una curva es el número máximo de puntos de corte con una secante. En la figura se 
muestra una curva de 4° orden. 
 
La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante cuando los dos 
puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie 
cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie 
cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia. 
 
La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto 
exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos. La recta normal a una curva 
es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Según esta definición por un punto 
de la curva existirán infinitas normales. Para las curvas planas la más importante de estas 
normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal. 
 
ECUACIONES PARAMÉTRICAS 
Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, 
están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra 
z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se 
representan en la siguiente forma general: 
x = F (z) 
 y = F (z) 
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva 
perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos. 
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MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
 
Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas. En forma directa se le asignan 
valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas determinan los valores 
correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los 
puntos así determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las ecuaciones 
paramétricas. 
 
2.2. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación grafica. 
CIRCUNFERENCIA 
 Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un punto de la curva y 
Θ=ángXOM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia: 
 𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 
𝑦 = 𝑎 sin 𝜃 
CICLOIDE Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin 
resbalar, a lo largo de una recta fija. Tomese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace 
rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con 
T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá 
hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al 
arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es 
igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir: 
𝑥 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑇 − 𝑀𝑁 = r 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 ; 
 𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑇𝐶 − 𝑁𝐶 = 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃 ; 
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 
𝑥 = 𝑟 ( 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃); 
𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝜃 ; 
 
 
4
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
HIPOCICLOIDE 
Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, 
permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija. 
 Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de 
centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto 
fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia. En A 
coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá 
recorrido el arco AB; o sea: arco AB=2πb. 
 
 
Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que figure un parámetro solamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
ASTROIDE 
 Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son 
inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son 
conmensurables, resulta una curva cerrada. 
 En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide. Las ecuaciones 
paramétricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4)a y 
después reduciendoqueda: 
𝑥 = 𝑎 cos3 𝜃 ; 
 𝑦 = 𝑎 sen3 𝜃 
Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide. 
 
2.3. Derivada de una función dada paramétricamente 
Si una curva suave C está dada por la ecuaciones x=f(t) y y=g(t), entonces la pendiente de C en 
(x,y) es 
 
Esto se da ya que cumple con el teorema que proporciona las condiciones necesarias para 
obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica: 
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑓 𝑦 𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑡1 ,𝑡2 . 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓´ 𝑡 ≠ 0, 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑥 = 𝑓 𝑡 
, 𝑦 = 𝑔 𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐹 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 
 
- Derivadas de orden superior para una función dad en forma parametrica 𝑆𝑖 𝑥 𝑦 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 
𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐷𝑥 2𝑦 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒: 
. 
En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma 
paramétrica, se aplica la siguiente igualdad: 
 
 
6
 
 
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CALCULO VECTORIAL 
 
A continuación veremos unos ejemplos de derivadas de funciones dadas en forma paramétrica. 
 
Ejemplo 2: 
 
2.4. Longitud de arco en forma paramétrica 
Si una curva suave C está dada por x = f(t) y y = g(t) y C no se interseca a sí misma en el 
intervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 , entonces la longitud de arco de C en este intervalo está dada por: 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CALCULO VECTORIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5. Coordenadas polares. 
Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el 
sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han 
estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema 
de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares. 
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u 
origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura 
 
A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, 𝜃), como 
sigue. 
 
 
En coordenadas rectangulares, cada punto (x,y) tiene una representación única. Esto no 
sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r,𝜃) y (r,2𝜋 + 𝜃) 
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CALCULO VECTORIAL 
 
representan el mismo. También, como r es una distancia dirigida, las coordenadas pueden 
representar el mismo punto. En general, el punto puede expresarse como: 
 
 
Donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por (0,𝜃), donde 𝜃 es cualquier 
ángulo. 
 
2.6. Gráficas de ecuaciones polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
 
Fuentes bibliográficas 
 
Ecuacion de la recta tangente | Superprof. (2021, 17 marzo). Material Didáctico - Superprof. 
Recuperado 9 de octubre de 2022, de 
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/ecuacion-de-la-recta-
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Badillo, J. M. (s. f.). 2.6 Graficación de curvas planas en coordenadas polares. Scribd. 
Recuperado 9 de octubre de 2022, de https://es.scribd.com/doc/45493708/2-6-Graficacion-de-
curvas-planas-en-coordenadas-polares 
 
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de 2022, de https://issuu.com/alex271201/docs/informe_para_el_isusus 
 
Dominguez, S. O. (s. f.). Derivada de una funciÃ<sup>3n dada 
paramétricamente</i>. prezi.com. Recuperado 9 de octubre de 2022, de 
https://prezi.com/ecjerdhynd_h/derivada-de-una-funcion-dada-parametricamente/ 
 
La longitud de arco de curvas parametrizadas (artículo). (s. f.). Khan Academy. Recuperado 9 
de octubre de 2022, de https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-
multivariable-functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length-part-2-parametric-
curve 
 
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representación gráfica. Recuperado 9 de octubre de 2022, de http://itsav-
calculovectorial.blogspot.com/2012/12/23-ecuaciones-parametricas-de-algunas.html 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/ecuacion-de-la-recta-tangente.html
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/ecuacion-de-la-recta-tangente.html
https://es.scribd.com/doc/45493708/2-6-Graficacion-de-curvas-planas-en-coordenadas-polares
https://es.scribd.com/doc/45493708/2-6-Graficacion-de-curvas-planas-en-coordenadas-polares
https://issuu.com/alex271201/docs/informe_para_el_isusus
https://prezi.com/ecjerdhynd_h/derivada-de-una-funcion-dada-parametricamente/
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length-part-2-parametric-curve
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length-part-2-parametric-curve
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length-part-2-parametric-curve
http://itsav-calculovectorial.blogspot.com/2012/12/23-ecuaciones-parametricas-de-algunas.html
http://itsav-calculovectorial.blogspot.com/2012/12/23-ecuaciones-parametricas-de-algunas.html
 
 
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CALCULO VECTORIAL 
 
Ejercicio 14 
Área 
𝑦 = 3 cos 𝑡 
𝑦 = 3 sin 𝑡 
𝑑𝑥 = −3 sin 𝑡 𝑑𝑡 
4∫ (3 sin 𝜃)(−3 𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜃
0
𝜋/2
 
36∫ (3 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃) −
36
2
 ∫ (3 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 = 18[ 𝜃 −
1
2
0
𝜋/2
0
𝜋/2
sin 2𝜃]𝜋/2
0 
−18 [10 − 0) − (
𝜋 
2 
 − 0 ) = 9𝜋 
Perímetro 
{
𝑥2 = 3𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑦2 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡
 
 𝑥′ = 𝑠𝑒𝑛𝑡 
 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝑡 
𝑚(𝑡) =
cos 𝑡
−𝑠𝑒𝑛 𝑡 
 
𝐿 = ∫ √( 𝑥′)2+( 𝑦′)2 𝑑𝑡
13
2
 
𝐿 = ∫ √(−𝑠𝑒𝑛𝑡)2+(𝑐𝑜𝑠𝑡)2 𝑑𝑡
2𝜋
0
 
= ∫ √𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡
2𝜋
0
 
= ∫ √cos 𝑡 
2𝜋
0
 
11
 
 
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CALCULO VECTORIAL 
 
= √cos 2 𝜋 − √cos 2 0 
= 0.996 − 1 
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟒 𝑼𝑳 
Grafica 
𝒙 = 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝒕
𝒚 = 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝒕
 
𝑥2
𝑎
+ 
𝑦2
𝑎
 = 1 
𝑡 = 0 
𝑥 = 3 cos(0) = 3 
𝑦 = 3 sin(0) = 0 
t=
𝜋
2
 
x = 3cos(
𝜋
2
)= 0 , 2.99 
y = 3sin(
𝜋
2
)= 0.02 , 3 
 
Ejercicio 15 
Área 
𝑥 = cos 𝑡 
𝑦 = 2 sin 𝑡 
𝑑𝑥 = − sin 𝑡 𝑑𝑡 
12
 
 
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CALCULO VECTORIAL 
 
4∫ (2 sin 𝜃)(− 𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑑𝜃
0
𝜋/2
 
−8∫ (𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃) −
8
2
 ∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 = −4[ 𝜃 − 𝑡𝑠𝑖𝑛 2𝜃]𝜋/2
0 
0
𝜋/2
0
𝜋/2
 
4 [10 − 0) − (
𝜋 
2 
 − 0 ) = 2𝜋 
Perímetro 
{
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠3 𝑡
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛3 𝑡
 
 𝑥′ = 3 − 𝑠𝑒𝑛3 𝑡 
 𝑦′ = 3𝑐𝑜𝑠3 𝑡 
𝑚(𝑡) =
3 𝑐𝑜𝑠3 𝑡
3 − 𝑠𝑒𝑛3 𝑡 
= 
𝑐𝑜𝑠3 𝑡
−3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
 
𝐿 = ∫ √(3 − 𝑠𝑒𝑛3𝑡)2+(3𝑐𝑜𝑠3𝑡)2 𝑑𝑡
2𝜋
0
 
= ∫√9− 𝑠𝑒𝑛6𝑡 + (3 𝑐𝑜𝑠6𝑡 𝑑𝑡)
𝐵
2
 
= 9 ∫√9 − 𝑠𝑒𝑛5𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑐𝑜𝑠5𝑡 )
𝐵
2
 
= 9 ∫√𝑠𝑒𝑛5𝑡 + 𝑐𝑜𝑠5𝑡 )
𝐵
2
 
= 9√𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 
= 9√𝑠𝑒𝑛 21𝑡 − cos 21 𝑡 - √𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 
= 𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟖 𝑼𝑳 
13
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
Grafica 
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 
𝑦 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑡 
𝑥2
𝑎
+ 
𝑦2
𝑎
 = 1 
𝑡 = 0 
𝑥 = cos(0) = 1 
𝑦 = sin(0) = 0 
t=
𝜋
2
 
x = cos(
𝜋
2
)= 0 
y = 2 sin(
𝜋
2
)= 2Ejercicio 16 
Perímetro 
{
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
 𝑥′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑡 
 𝑦′ = 2cos 𝑡 
𝑚(𝑡) =
2 cos 𝑡 
−𝑠𝑒𝑛 𝑡 
 
𝐿 = ∫√(−𝑠𝑒𝑛𝑡)2+(2 𝑐𝑜𝑠𝑡)2 𝑑𝑡
𝐵
2
 
14
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
= ∫√𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 4 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑑𝑡
𝐵
2
 
= 9 ∫ √𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 4 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡
2𝜋
0
 
= ∫ √𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡
2𝜋
0
 
= 4 ∫ √𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 
2𝜋
0
 
= 4√𝑠𝑒𝑛 21𝑡 − cos 21 𝑡 - √𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 
= 𝟓. 𝟏𝟎𝟖 𝑼𝑳 
Grafica 
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠3 𝑡
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛3 𝑡
 
𝑥2
𝑎
+ 
𝑦2
𝑎
 = 1 
𝑡 = 0 
3𝑐𝑜𝑠3(0) = 3 
3𝑠𝑖𝑛3(0) = 0 
t=
𝜋
2
 
3𝑐𝑜𝑠3 (
𝜋
2
)= 0 
3𝑠𝑖𝑛3 (
𝜋
2
)= 3 
 
 
 
 
 
15
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
Ejercicio 17 
𝑟 = 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝑟 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝑟 = 1 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
𝑟 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
𝑟 = 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝑟 = 1 ∙ 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
1 ∙ 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑟 
1 ⋅ 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
1 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
=
𝑟
1 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝜃 = 
𝜋
2
+ 2𝜋𝜃 =
3𝜋
2
+ 2𝜋 ∩ 
𝑡 =
𝑟
𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝜃 =
𝜋
2
+ 2𝜋 ∩ 𝜃 =
3𝜋
2
+ 2𝜋 ∩ 
𝒓 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝑑
𝑑𝜃
(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ) 
𝑑
𝑑𝜃
 (1) −
𝑑
𝑑𝜃
( 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ) 
ⅆ
ⅆ𝜃
 ( 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ) = (−𝑠𝑒𝑛( 𝜃)) 
= 0 − (−𝑠𝑒𝑛( 𝜃)) 
= 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜃) 
𝒓 = 𝟏 𝒕 𝒔𝒆𝒏𝜽 
𝑟 = 1 ∙ 𝑡 𝑠𝑖𝑛( 𝜃) 
1 ∙ 𝑡 𝑠𝑖𝑛( 𝜃) = 𝑟 
1 ⋅ 𝑡 𝑠𝑖𝑛(𝜃)
1 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)
=
𝑟
1 ⋅ 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝜃 = 𝜃 = 2𝜋 ∩ 𝜃 = 𝜋 + 2𝜋 ∩ 
𝑡 =
𝑟
𝑠𝑖𝑛(𝜃)
 ; 𝜃 = 2𝜋 ∩ 𝜃 = 𝜋 + 2𝜋 ∩ 
𝒓 = 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 
16
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
𝑑
𝑑𝜃
( 1 − 𝑠𝑖𝑛 (𝜃) ) 
𝑑
𝑑𝜃
 (1) −
𝑑
𝑑𝜃
( 𝑠𝑖𝑛(𝜃) ) 
𝑑
𝑑𝜃
 (1) = 0 
ⅆ
ⅆ𝜃
 ( 𝑠𝑖𝑛(𝜃) ) = 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜃) 
= 0 − 𝑐𝑜𝑠( 𝜃) 
= −𝑐𝑜𝑠( 𝜃) 
Grafica 
𝑟 = 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑟 = 1 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
𝑟 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑟 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
Ejemplo 18 
𝑟 = 3𝑡 ⋅ 2 cos(𝜃) 
r = 6 cos(𝜃) ∗ 𝑡 
 6 cos(𝜃) 𝑡 = 𝑟 
6 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ⋅ 𝑡
6 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
=
𝑟
6 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
 
 6 =
𝑟
6 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
 
r = 6 t cos(𝜃) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 19 
{ 𝒓
𝟐 = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
𝒓𝟐 = 𝟒 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽
 𝑟′ =
2 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
√𝑐𝑜𝑠 2𝜃
 𝑟′ =
2 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)
√𝑠𝑒𝑛 2𝜃
 
𝑟 = 2√𝑐𝑜𝑠 2𝜃 
𝑟 = 2√𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
𝑚(𝜃) =
2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
√𝑐𝑜𝑠 2𝜃
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 +(√2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃
−2𝑠𝑒𝑛 2𝜃
√𝑐𝑜𝑠 2𝜃
 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − (2√𝑐𝑜𝑠 2𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
18
 
 
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CALCULO VECTORIAL 
 
=
−2 𝑠𝑒𝑛 (2𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2 cos 2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 √𝑐𝑜𝑠 2𝜃
−2cos(2𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2 cos 2𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
= 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑠) − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑠) cos(𝑡 + 𝑠) 
 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑠) − 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑠) = 𝐬𝐞𝐧 (𝒕 + 𝒔) 
cos 3𝜃
√cos 2𝜃
−2cos 3𝜃
√cos 2𝜃
 
= 
2 𝑐𝑜𝑠 3𝜃
2 𝑐𝑜𝑠 3𝜃
 
= −cot ( 3𝜃) 
𝑚(𝜃) =
2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
√𝑠𝑒𝑛 2𝜃
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 +√2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
√𝑐𝑜𝑠 2𝜃
 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − √2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
=
2 𝑐𝑜𝑠 (2𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2 sen 2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 √𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2 cos(2𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2 sen 2𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
=
2 ( 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
2 ( 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃)
 
=
2 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 
2 cos 3𝜃
 
= tan 3𝜃 
𝐿 = ∫
2ℎ
0
√4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 (
𝑐𝑜𝑠 2𝜃
√𝑐𝑜𝑠 2𝜃
)
2
= ∫√4 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 +
4𝑠𝑒𝑛 20
cos 2𝜃
𝑑𝜃⁄ 
= 
√𝑐𝑜𝑠 2𝜃 
√𝑠𝑒𝑛 2𝜃 
19
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
2∫ √𝑐𝑜𝑠 2𝜃 +
𝑠𝑒𝑛 20
cos 2𝜃
⁄ 𝑑𝜃 
1
2
 2∫ √
sen2 2𝜃
(𝑈)(𝑢)
 + cos(𝑢) (𝑑𝑢) 
=
1
2 𝑐𝑜𝑠2√ (
𝑢 
2 ) − 1
 
 | 𝑣 =
𝑈
2
 𝑑𝑣 =
1
2
𝑑𝑢 
2∫
1
1− 𝑠𝑒𝑛2 𝑣 
 𝑑𝑣 = 2𝐹(𝜃12) 
∫ = 21.3 𝑈𝐿 
2�̇�
0
 
𝐿 =∫ √4𝑠𝑒𝑛 2𝜃 (
2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
√𝑠𝑒𝑛 2𝜃
)
2
= ∫√4 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 +
4𝑐𝑜𝑠2 20
sen 2𝜃
𝑑𝜃⁄
2ℎ
0
 
2∫ √𝑠𝑒𝑛 2𝜃 +
𝑐𝑜𝑠2 20
sen 2𝜃
= 2
1
2
⁄ ∫ √𝑠𝑒𝑛 𝜃 +
𝑐𝑜𝑠 
2
𝜃
sen 𝜃
 
 
∫
1
√ 2 𝑐𝑜𝑠2 (
𝑢 
2 ) − 1
 𝑑𝑢 = ∫
1
√ 2 𝑠𝑒𝑛 2 (
𝑢 
2 ) − 1
 
 
𝑑𝑢 = ∫
1
√1 − 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝑣
 
 𝑑𝑣 = 2𝑓(𝜃)2 = ∫ = 21.3 𝑈𝐿 
2�̇�
0
 
20
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
𝐴 = 4
1
2
∫ = 4 
𝜋/4
0
 
𝐴 = 4
1
2
∫ 4 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
𝑢 = 20 𝑑𝑢 = 2𝑑𝜃 
4𝑠𝑒∫𝑠𝑒𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = 4 − cos 2 𝜃 ∫ = 4 
𝜋/4
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
Ejemplo 20 
Pendiente de la Recta Tangente 
𝑥 = 2( θ − sen θ) 
𝑦 = 2(1 − cos θ) 
 𝑥′ = 2 − 2𝑐𝑜𝑠 
 𝑦′ = 2 𝑠𝑒𝑛 θ 
 
𝑚(𝜃) =
2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
2 ( 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)
 =
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
− 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃
 = cot
0
2
 
Longitud de Arco 
𝐿 = ∫ √(2 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃)2+(2 𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 = 
2𝜋
0
 ∫ √4 + 8 cos 𝜃 + 4 cos2 𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2𝜋
0
 
√8∫
√𝑠𝑒𝑛2𝜃
√1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝜋
0
 
 
√8∫
𝑠𝑒𝑛 𝜃
√1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
2𝜋
0
 
𝑣 = 1 + cos θ 
𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛 𝜃 
√8∫
1
√𝑣
2𝜋
0
 𝑑𝑣 = −2√2 2√1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 4 √2 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃 ∫
2𝜋
0
 
=16 
Área 
A= ∫ 2(1 − 𝑐𝑜𝑠) ∙ (2 − 2cosθ)dθ
2𝜋
0
 
22
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
4 ∫ 2(1 − 𝑐𝑜𝑠)2𝑑𝜃 = 4 ∫ 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2
2𝜋
0
2𝜋
0
 𝜃 
= 4(∫𝑑𝜃 − 2∫𝑐𝑜𝑠𝜃𝑡∫𝑐𝑜𝑠2 𝜃) 
= 4 (𝜃 − 2 − 𝑠𝑒𝑛(𝜃) +
1
2
𝜃 + 
1
2
 
 (𝑠𝑒𝑛 (2𝜃)) 
2
 
4 (
3𝜃
2
 − 2𝑠𝑒𝑛(𝜃 )+ 
 (𝑠𝑒𝑛 (2𝜃)) 
4
 ∫ 12𝜋 = 37.6991
2𝜋
0
 
Ejercicio 21 
𝑟 = a cos 3𝜃 
A =
1
2
 ∫ 𝑟2
𝐵
𝜋
4
 𝑑𝜃 = 6 (
1
 2
 ) ∫ ( a cos 3𝜃)2 𝑑𝜃
𝜋
6
0
 
= 3𝑎2∫ 
1
 2
 (1 + cos 6 𝜃)𝑑𝜃 =
3𝑎2
 2
 ∫ (1 + cos 6 𝜃)𝑑𝜃 
𝜋
6
0
 
𝜋
6
0
 
=
3𝑎2
 2
 ( 𝜃 + 
𝑠𝑒𝑛 6𝜃
6
 ) ∫
 
 
𝜋
6
0
 
=
3𝑎2
 2
 ( 
𝜋
𝜃2
 - 0 ) 
A= 
𝟏
𝟒
 𝝅 𝒂 𝟐 𝒖𝟐 
 
Ejercicio 22 
Área de rosa cuatro pétalos 
A =
1
2
 ∫ 12
𝐵
𝜋
4
 
A =
1
2
 ∫ (cos 2𝜃)2 𝑑𝜃
𝜋
4
𝜋
4
 
A =
1
2
 ∫ cos2 2𝜃 𝑑𝜃
𝜋
4
𝜋
4
 
 
 
23
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
Identidad Trigonométrica 
𝑐𝑜𝑠2u=
1+cosθ𝑢
2
 
A =
1
2
 ∫
1+ cos2𝜃
2
 𝑑𝜃
𝜋
4
𝜋
4
 
A =
1
2
 ∫
1+ cos4𝜃
2
 𝑑𝜃
𝜋
4
𝜋
4
 
A =
1
2
 ∫ 
1
 2
 𝑑𝜃
𝜋
4
𝜋
4
 + 
1
2
 ∫
1+ cos4𝜃
2
 𝑑𝜃
𝜋
4
𝜋
4
= 
1
4
 ∫ 𝑑𝜃
𝜋
4
𝜋
4
+ 
1
4
 ∫ 𝑐𝑜𝑠 4 𝜃 𝑑𝜃
𝜋
4
𝜋
4
 
=
1
 16
 𝑠𝑒𝑛 4𝜃 ∫ + 
1
 4
𝜃
𝜋
4
𝜋
4
= 
1
 4
(
𝜋
4
)
+ 
1
 16
𝑠𝑒𝑛 ( 4 (
𝜋
 4
 ) ) − ( 
1
 4
(− 
𝜋
4
)
+
1
 16
𝑠𝑒𝑛 ( 4 (− 
𝜋
 4
 ) ) 
=
1
 16
𝜋 +
1
 16
𝜋 
=
1
 16
𝜋 +
1
 16
𝜋 
=
𝟐
 𝟏𝟎
𝝅 +
𝟏
 𝟖
𝝅 𝒖𝟐 
 
Ejercicio 23 
{
𝒙 = 𝟐 𝒄𝒐 𝒕𝜽
𝒚 = (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽)
 
 𝑥′ = −2 cos2 𝜃 
 𝑦′ = 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 
mθ =
2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2 cos2 𝜃 
 =
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 cos2𝜃 
 
𝐴 = 2∫ + 
16
 402 + 𝑈
𝑑𝑢 =
∞
0
3∫ + 
1
 𝑈2 + 1
 = 8𝑎𝑟𝑐 tan (
𝑥
 2
∞
0
) ∫ 
∞
0
 
= 4𝜋 = 𝟏𝟐. 𝟓𝟔𝟔 → 𝒂𝒓𝒄 𝒂 
24
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
 
Ejercicio 24 
 𝑥 =
3𝑡
1+𝑡3
 
𝑥 =3𝑡3
1 + 𝑡3
 
𝑥3 + 𝑦3 = 3𝑥𝑦 
 𝑥′ =
3 − 6𝑡3
(1 + 𝑡3)2
 
 𝑦′ = ( 
6𝑡 − 3𝑡4
(1 + 𝑡3)2
 ) 
m(t)=
6𝑡−3𝑡4
(1+𝑡3)
2
3−6𝑡3
(1+𝑡3)2
 =
3 (1𝑡−𝑡4)
3(1−2𝑡3)
 = 
1𝑡−𝑡4
1−2𝑡3
 
𝐿 =
∫
 
 
 
√(
3 − 𝑐 𝑡3
−(1 + 𝑡3)2
)
2
= (
5𝑡 − 3 𝑡4
−(1 + 𝑡3)
)
2
 ∫ √
(3 − 6 𝑡3)2 + (6𝑡 − 3 𝑡4)2
(1 + 𝑡)2
2𝜋
0
2𝜋
0
 
=∫ √
9 − 36𝑡3 + 36𝑡5 + 36𝑡2 − 56𝑡5 + 9𝑡8
(1 + 𝑡)2
2𝜋
0
 
25
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
=∫ √
9(1 − 4𝑡3 + 4𝑡6 + 4𝑡2 − 4𝑡3 + 𝑡8
(1 + 𝑡)2
2𝜋
0
 
= 3∫ √
𝑡8 + 4𝑡6 − 4𝑡5 − 4𝑡3 + 4𝑡2 + 12
(1 + 𝑡)2
2𝜋
0
 = 𝟒. 𝟒𝟑𝟒𝟎 𝑼𝑳 
𝐴 = ∫
3𝑡2
1 + 𝑡3
2𝜋
0
 + 
3 − 3𝑡3
(1 + 𝑡3)2
 = −9 ∫
𝑡2( 2 𝑡3 − 1)
(𝑡3 + 1)3
2𝜋
0
 
u= 𝑡3 + 1 𝑑𝑢 = 3𝑡3 𝑑𝑡 
3 ∫
2𝑢−3
𝑢3
2𝜋
0
 = −3 ( ∫
1
𝑢2
𝑑𝑢 − 3 ∫
1
𝑢3
𝑑𝑢 ) = −3( −
2
𝑢
 +
3
𝑢2
) 
= −3 ( −
2
23 + 1
 + 
3
2(𝑡31+)2
 ) = 
6
𝑡3 + 1
 − 
9
2(𝑡31+)2
 ∫ = 𝟏. 𝟒𝟕𝟓𝟗 
2𝜋
0
 
 
Ejercicio 25 
{
𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝜽
𝒚 =
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟑 𝟐𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
 
 𝑥′ = 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 
 𝑦′ = 
𝑠𝑒𝑛2 2 𝜃 + 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃
 
𝑚(𝜃) =
𝑠𝑒𝑛 220 + 23 𝑠𝑒𝑛2
 
𝑐𝑜𝑠2𝜃
2 sen 2𝜃̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
 = 
𝑠𝑒𝑛2 2 𝜃 + 1 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑐𝑜𝑠2𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
 
 
𝐴 = 16∫ 
 2𝑠𝑒𝑛3 𝜃
cos 𝜃
 = 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝑛 = 16∫ 
 4𝑠𝑒𝑛5 𝜃
cos 𝜃
 𝑑𝜃
𝜋
4
0
𝜋
4
0
 
u=𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑢 = cos 𝜃 𝑑𝜃 
26
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
= -∫ 
 𝑢5
𝑢2−1
 
𝜋
4
0
 
V =𝑢2 − 1 𝑑𝑣 = 2𝑢 𝑑𝑣 
64 
1
2
∫ 
 (𝑦 + 1)2 
𝑣
 𝑑𝑣 = 32 (∫ 𝑣𝑑𝑣 + 
𝜋
4
0
∫
1
𝑣
 𝑑𝑢 + 2∫ 𝑢𝑣 ) = 52 ( 
 𝑣
2
𝑑𝑢 + 𝑖𝑛 𝑣 + 2𝑣) 
32(
 (𝑢2−1)
2
 
2
 + 𝐼𝑛(𝑢 − 1) + 2(𝑢 − 1) ) 
 32(
 (𝑠𝑒𝑛2 𝜃−1)
2
 
2
 +𝐼𝑛(𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 1) + 2(𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 1) 
=16 (𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 1)2 + 32 𝐼𝑛 (𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 1) + 64(𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 1) ∫ = 𝟒. 𝟑𝟓 𝟖𝟒
𝜋
4
0
 
Ejercicio 26 
r=𝛉 
 𝑟′ = 1 
𝑚(𝜃) = 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜃𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
 
𝐿 = ∫ √𝜃2 + 1 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
u =𝜃 + 1 𝑑𝑣 = 1 𝑑𝜃 
∫ √𝑣 𝑑𝑜
2𝜋
0
 
= 
2 𝑢 
3
2
3
 
𝐴 =
1
2
∫ 𝜃2 =
1
2
 ( 
𝜃
3
3
 )
2𝜋
0
 = 
𝜃
6
3
∫ = 41. 14 𝑢2
2𝜋
0
 
 
= 27 𝜃 = 21° 
 
𝑚 (𝜃)
cos(21 °)
𝑠𝑒𝑛(21)
 = cot (212 ) 
 
27
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
 
Ejercicio 27 
r=𝛉 𝛉=21 
 𝑟′ = 1 
 
𝑚(𝜃) = 
𝑠𝑒𝑛 (21 𝜃) + 𝜃𝑐𝑜𝑠 (21 𝜃)
𝑐𝑜𝑠 (21 𝜃) − 𝜃𝑠𝑒𝑛(21 𝜃)
 
𝐿 = ∫ √(21 𝜃2) + 1 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
u =( 21 𝜃) + 1 𝑑𝑣 = 1 𝑑𝜃 
∫ √𝑣 𝑑𝑜
2𝜋
0
 
= 
2 𝑢 
3
2
3
 
𝐴 =
1
2
∫ (21 𝜃2) =
1
2
 ( 
(21 𝜃)
3
3
 )
2𝜋
0
 = 
𝜃
6
3
∫ = 71. 14 𝑢2
2𝜋
0
 
 
= 27 𝜃 = 21° 
 
𝑚 (𝜃)
cos(21 °)
𝑠𝑒𝑛(21)
 = cot (272 ) 
 
 
 
 
28
 
 
MIS HERMOSOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
Conclusión 
 
 
Para concluiruna ecuación algebraicas aquella ecuación en la cual sólo algunas de las 
operaciones están involucradas, lo que incluye la suma, resta, división, multiplicación, hasta las 
potencias fraccionarias o integrales y la extracción de la raíz. 
Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que 
representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término 
curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, 
aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin 
formará ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de 
esta noción los casos de movimiento rectilíneo. 
 Las curvas polares, a diferenciade las curvas algebraicas, son definidas principalmente en 
términos de su ángulo, este es. Un polo está situado en un lugar de manera tal que el valor de 
es siempre cero para todos los valores de r 
 
 
 
 
29
	Negro y Amarillo Geométrico Día Mundial del Medio Ambiente Póster
	0c04413951a5a2132de7abf5a23e444ae2c205d25c3e28ee6ca22720191c1916.pdf
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