Entretenimiento 06 - S08

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ENTRETENIMIENTO 06 - 19/10/2022 
 
ÁREAS POR SUMATORIAS 
 
 
1. OBSERVACIÓN: La región plana ,R determinada por la función  ( ) 0 ; ;f x x a b  y el eje X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Particionamos el intervalo en subintervalos de igual longitud .
b a
x
n
−
 = construyendo rectángulos 
de igual base, según el gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculamos el área aproximada de la región plana como la suma de las áreas de los rectángulos: 
 
1 2( ) ... ...i nA R A A A A + + + + +  
1 1
( ) ( ).
n n
i i
i i
A R A f x x
= =
 =   
Donde: 
1 0x x x= +  
2 1 0 2x x x x x= +  = +  
3 2 0 3x x x x x= + = + 
 
1 0i ix x x x i x a i x−= +  = +  = +   ix a i x= +  
 
Ahora hacemos: 0x → Esto sucede cuando n→ 
Para una mejor aproximación del área, aplicamos límite cuando n→ 
Y 
X 
a
 
b
 
R
 
( )f x
 
 
X 
Y 
0a x= nx b= 
1x 1ix − 1nx − 2x ix 
1A 
1nA − 
iA 2A 
nA 
x x x x x 
1( )f x 
2( )f x 
( )nf x 
( )if x 
1( )nf x − 
 
 
 
 
1
( ) lim ( )
n
i
n
i
A R f x x
→
=
 
=  
 
 
 
 
2. ÁREA DE REGIONES PLANAS POR SUMATORIAS: 
 
Sea f una función continua en  ; ,a b el área de la región plana, limitada por ( ) 0,f x  el eje X y 
las rectas ; .x a x b= = está dado por: 
 
 
 
 
1
( ) lim ( )
n
i
n
i
A R f x x
→
=
 
=  
 
 
 
 
Dónde: 
−
 =
b a
x
n
 y = + ix a i x 
 
 
 
Nota 1: La región plana ,R limitada por ( ) 0,f x  el eje X, y las rectas ; .x a x b= = está dado 
por: 
 
 
1
( ) lim ( )
n
i
n
i
A R f x x
→
=
 
= −  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota 2: Recordar las siguientes sumatorias 
 
=
+
=
n
i 1
n(n 1)
i
2
 
=
+ +
=
n
2
i 1
n(n 1)(2n 1)
i
6
 
=
+
=
2 2n
3
i 1
n (n 1)
i
4
 
 
Nota 3: La región plana, limitada por las funciones ( ) ( ) ,f x g x y las rectas ; .x a x b= = Su área 
(R) está dado por: 
 
 
 
1
( ) lim ( ) ( )
n
i i
n
i
A R f x g x x
→
=
 
 = −   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y 
X 
( )f x
 
R 
Y 
( )f x 
X 
Ejemplo 01: Determine el área de la región plana ,R limitada por 2 2 1y x x= + + , el eje X 
y las rectas 3 ; 2.x x= − = 
Solución: 
(y<=x²+2x+1)∧(-2<=x<=3)∧(y>=0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2( )A R A A= + 
 
 
 
 
 
 
 
 
*) Calculamos A1: 
− − −
 = =
1 ( 3) 2
x
n n
 = − +i
2i
x 3
n
 
 
= +  = + = − + = − = − +
2
2 2 2 2
i i 2
2i 2i 4i 8i
f (x) (x 1) f (x ) (x 1) ( 3 1) ( 2) 4
n n nn
 
 
2 2
1 2 2
1 1 1
4 8 2 4 8 2
lim ( ) lim 4 lim 4
n n n
i
n n n
i i i
i i i i
A f x x
n n n n n n→ →  → = = =
        
=  = − + = − +        
        
   
 
2
1 3 2 3 2
1 1 1
8 16 8 8 ( 1)(2 1) 16 ( 1) 8
lim 1 lim
6 2
n n n
n n
i i i
n n n n n
A i i n
n n n n n n→ →= = =
  + + + 
= − + = − +   
  
   
 
2
1
4 1 1 1 8 8
lim 1 2 8 1 8 8 8
3 3 3n
A u
n n n→
     
= + + − + + = − + =     
     
 
 
*) Calculamos A2: 
 
− −
 = =
2 ( 1) 3
x
n n
 = −i
3i
x 1
n
 
= +  = + = − + = =
2
2 2 2 2
i i 2
3i 3i 9i
f (x) (x 1) f (x ) (x 1) ( 1 1) ( )
n n n
 
 
2
2
2 2 3 3
1 1 1
9 3 27 27 ( 1) (2 1)
lim ( ) lim lim lim
6
n n n
i
n n n n
i i i
i n n n
A f x x i
n n n n→ →  →  → = = =
      + + 
=  = = =       
      
   
 
2
2
9 1 1
lim 1 2 9
2n
A u
n n→
   
= + + =   
   
 
 
2A 
1A 
Sumando: 
2
1 2
8 35
( ) 9
3 3
A R A A u= + = + = Por tanto: 2
35
( )
3
A R u= 
 
OTRA FORMA: 
 
− −
 = =
2 ( 3) 5
x
n n
 = −i
5i
x 3
n
 
 
= +  = + = − + = − = − +
2
2 2 2 2
i i 2
5i 5i 25i 20i
f (x) (x 1) f (x ) (x 1) ( 3 1) ( 2) 4
n n nn
 
 
2
2
2 3 2
1 1 1 1
25 20 5 125 100 20
( ) lim ( ) lim 4 lim
n n n n
i
n n n
i i i i
i i
A R f x x i i n
n n n n n n→ → →= = = =
     
=  = − + = − +     
     
    
 
3 2
125 ( 1) (2 1) 100 ( 1) 125 1 1 1
( ) lim 20 lim 1 2 50 1 20
6 2 6n n
n n n n n
A R
n n n n n→ →
+ + +        
= − + = + + − + +      
       
 
 
125 1 1 1 125 125 35
( ) lim 1 2 50 1 20 50 20 30
6 3 3 3n
A R
n n n→
     
= + + − + + = − + = − =     
     
 
 
 
Por tanto: 2
35
( )
3
A R u= 
 
 
Ejemplo 02: Determine el área de la región plana limitada por las curvas = =
2
2 xy x ; y ;
2
 
y la recta =y 2x. 
Solución: 
 
 
Intersección: 
 
2 2
( 2) 0
0 ; 2
x x
x x
x
=
− =
=
 
 
 
2
2
2
( 4) 0
0 ; 4
x
x
x x
x
=
− =
=
 
 
 
 
 
 
 
2y x= 
2
2
x
y = 
2y x= 
2A 
1A 
*) Para A1: 
 
−
 = =
2 0 2
x
n n
 =i
2i
x
n
 
 
 
− = − =  − = =
22 2 2
2 i
i i 2
xx x 2i
f(x) g(x) x f (x ) g(x )
2 2 2 n
 
 
2
2
1 2 3 3
1 1 1
2 2 4 4 ( 1) (2 1)
lim ( ( ) ( ) lim lim lim
6
n n n
i i
n n n n
i i i
i n n n
A f x g x x i
n n n n→ →  →  → = = =
      + + 
= −  = = =       
      
   
 
1
2 1 1 4
lim 1 2
3 3n
A
n n→
   
= + + =   
   
 
 
 
*) Para A2: 
 
−
 = =
4 2 2
x
n n
 = +i
2i
x 2
n
 
   
− = −  − = + − +   
   
= + − − − = −
22
i i
2 2
2 2
x 2i i
f(x) g(x) 2x f (x ) g(x ) 2 2 2 1
2 n n
4i 4i 2i 2i
4 2 2
n n n n
 
 
2
2
2 2 3
1 1 1 1
3
2 2 4 4
lim ( ( ) ( ) lim 2 lim 1
4 4 ( 1) (2 1) 2 1 1 4 8
lim lim 4 1 2 4
6 3 3 3
n n n n
i i
n n n
i i i i
n n
i
A f x g x x i
n n n n
n n n
n
n n n n
→ →  → 
= = = =
→  → 
     
= −  = − = −     
     
+ +      
= − = − + + = − =    
     
   
 
Sumando: 
2
1 2
4 8
( ) 4
3 3
A R A A u= + = + = Por tanto: 2( ) 4A R u= 
 
 
 
 
 
 
02. Determine el área de la región plana R limitada por 2( 3) 2y x= − + , el eje X y las rectas 0 ; 6x x= = 
Rpta: 2( ) 30A R u= 
 
03. Calcule el área de la región plana R limitada por 212y x x= − − , el eje X y las rectas 3 ; 2x x= − = 
Rpta: 2
305
( )
6
A R u= 
 
04. Calcule el área de la región plana R limitada por 24y x= − , el eje X y las rectas 1 ; 2x x= = 
Rpta: 2
5
( )
3
A R u= 
 
05. Determine el área de la región plana R limitada por 2 3
4
3 3
3
y x x x= − − , el eje X y las rectas 
0 ; 1x x= = Rpta: 2
1
( )
6
A R u= 
 
06. Determine el área de la región plana R limitada por 
2
( ) 2
2
x
f x = − , el eje X y las rectas 
4 ; 3x x= − = 
Rpta: 2( ) ............A R u= 
 
07. Determine el área de la región plana limitada por la curva 2 36y x x x= + − el eje X y las rectas 
1 ; 3x x= − = Rpta: 2
109
( )
6
A R u= 
 
08. Determine el área de la región plana R limitada por 2 4y x x= − , el eje X y las rectas 0 1x  
Rpta: 2
2
( )
15
A R u= 
 
09. Determine el área de la región plana limitada por las curvas 
2 2
12 ; 2
2 3
x x
y y x= − + = − 
Rpta: 2( ) ..................A R u= 
 
10. Determine el área de la región plana limitada por las curvas 2 2; 4 3y x y x= = − 
Rpta: 2( ) 16 / 3A R u= 
11. Determine el área de la región plana limitada por las curvas 2 23 ; 1 3 ; 0 ; 3y x y x x x= = − = = 
Rpta: 2( ) 57A R u= 
 
12. Determine el área de la región plana limitada por las curvas 22y x x= − y la recta y x= − 
Rpta: 2
9
( )
2
A R u= 
 
13. Determine el área de la región plana limitada por las curvas 
2
2 ;
2
x
y x y= = y la recta 2y x= 
Rpta: 2( ) 4A R u= 
 
14. Determine el área de la región plana limitada por la curva 26 4y x x= + − y la recta que pasa por los 
puntos ( 2; 6) (4;6)y− − 
0Rpta: 2( ) 36A R u= 
 
15. Determine el área de la región plana limitada por las curvas 
2
2 ;
3
x
y x y= = Rpta: 2
9
( )
4
A R u= 
 
16. Determine el área de la región plana limitada por las curvas 2 1 ; 1y x x y− = − = Rpta: 2
9
( )
2
A R u= 
 
 
19. Determine el área de la región plana limitada porlas curvas 
2
2 ;
2
x
y x y= = y la recta 2y x= 
Rpta: 2( ) 4A R u= 
 
 
 
 
Ejercicio 01: Determine el área de la región plana limitada por las curvas 
2 2
12 ; 2
2 3
x x
y y x= − + = −