TP2 Funciones Complejas [1-10]

Vista previa del material en texto

TP2 Funciones Complejas [1-10] 
 1) Hallar los dominios máximos de las funciones complejas 
 𝑎) 𝑓(𝑥) =
𝑧2
𝑧+�̅�
 b) 𝑔(𝑧) = 1
𝑧3−4𝑧
 
 
a) 𝑑𝑜𝑚𝑓 = {𝑧 ∈ ℂ 𝑧 + 𝑧̅ ≠ 0⁄ } = ℂ − {𝑧 ∈ ℂ 𝑧 + 𝑧̅ = 0⁄ }. 
 Tenemos que 
 𝑧 + 𝑧̅ = 0 ⇔ 𝑥 + 𝑖𝑦 + 𝑥 − 𝑖𝑦 = 0 ⇔ 2𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 
 Por lo tanto 
 𝑑𝑜𝑚𝑓 = ℂ − {𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = 0⁄ } 
 Esto es, 𝑑𝑜𝑚𝑓 es “plano complejo − eje imaginario”. 
b) 𝑑𝑜𝑚𝑔 = {𝑧 ∈ ℂ 𝑧3 − 4𝑧 ≠ 0⁄ } = ℂ − {𝑧 ∈ ℂ 𝑧3 − 4𝑧 = 0⁄ }. 
Tenemos que 
𝑧3 − 4𝑧 = 0 ⇔ (𝑧2 − 4)𝑧 = 0 ⇔ (𝑧 − 2)(𝑧 + 2)𝑧 = 0 
 ⇔ 𝑧 = 2 ∨ 𝑧 = −2 ∨ 𝑧 = 0 
 Por lo tanto 
 𝑑𝑜𝑚𝑔 = ℂ − {2, −2, 0} 
 Esto es, 𝑑𝑜𝑚𝑔 es “plano complejo − puntos reales 2, −2, 0”. 
 
 2) Expresar las funciones complejas 
 𝑓(𝑧) = 𝑧3 + 𝑧 + 1, g(z) = z2 + 2iz y h(z) = z + (1/z) − i 
 en la forma 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). 
 Tomemos 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. 
𝑓(𝑧) = (𝑥 + 𝑖𝑦)3 + (𝑥 + 𝑖𝑦) + 1 
 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑖𝑦 + 3𝑥(𝑖𝑦)2 + (𝑖𝑦)3 + 𝑥 + 𝑖𝑦 + 1 
 = 𝑥3 + 𝑖3𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2 − 𝑖𝑦3 + 𝑥 + 𝑖𝑦 + 1 
 𝑓(𝑧) = 𝑥3 − 3𝑥𝑦2 + 𝑥 + 1 + 𝑖(3𝑥2𝑦 − 𝑦3 + 𝑦) 
 Las partes real e imaginaria de 𝑓 son 
 
 
 
 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 3𝑥𝑦2 + 𝑥 + 1, 𝑣(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦 − 𝑦3 + 𝑦 
 
 3) Hallar 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦) para 𝑒𝑧. 
 Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. 
𝑒𝑧 = 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑠(𝑦) = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦) + 𝑖𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑦) 
 Luego 
 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑦) 
 4) Calcular 𝑅2(4 − 3𝑖) y 𝑅2(−5 + 12𝑖) con la fórmula especial para 
 las raíces cuadradas. 
 Usamos la fórmula 
 𝑅2(𝑧) = {√
|𝑧|+𝑥
2
+ 𝑖𝜎(𝑦)√
|𝑧|−𝑥
2
, −√
|𝑧|+𝑥
2
− 𝑖𝜎(𝑦)√
|𝑧|−𝑥
2
 } 
 Se tiene que |4 − 3𝑖| = 5, 𝑅𝑒(4 − 3𝑖) = 4, 𝐼𝑚(4 − 3𝑖) = −3 y 
𝜎(−3) = −1, entonces 
 𝑅2(4 − 3𝑖) = {√
9
2
− 𝑖√
1
2
, −√
9
2
+ 𝑖√
1
2
} = {
3
√2
− 𝑖
1
√2
, −
3
√2
+ 𝑖
1
√2
} 
 Dejamos al lector mostrar que 𝑅2(−5 + 12𝑖) = {2 + 3𝑖, −2 − 3𝑖}. 
 
 5) Probar que 
𝑅2(−𝛼) = {𝑖√𝛼,− 𝑖√𝛼}, 𝛼 > 0 
𝑅2(𝑖𝛽) = {√𝛽 2⁄ + 𝑖√𝛽 2⁄ , −√𝛽 2⁄ − 𝑖√𝛽 2⁄ } , 𝛽 > 0 
 Tenemos que |−𝛼| = 𝛼, 𝑅𝑒(−𝛼) = −𝛼, 𝐼𝑚(−𝛼) = 0 y 𝜎(0) = 1, 
luego 
 𝑅2(−𝛼) = {√
𝛼+(−𝛼)
2
+ 𝑖√
𝛼−(−𝛼)
2
, −√
𝛼+(−𝛼)
2
− 𝑖√
𝛼−(−𝛼)
2
} = {𝑖√𝛼,− 𝑖√𝛼} 
 Tenemos que |𝑖𝛽| = 𝛽, 𝑅𝑒(𝑖𝛽) = 0, 𝐼𝑚(𝑖𝛽) = 𝛽 y 𝜎(𝛽) = 1, luego 
 𝑅2(𝑖𝛽) = {√
𝛽
2
+ 𝑖√
𝛽
2
, −√
𝛽
2
− 𝑖√
𝛽
2
 } 
 
 
 
 6) Calcular las raíces cúbicas de la unidad real y la unidad imaginaria 
𝑅3(1) = {(√1
3
)𝜔3
0, (√1
3
)𝜔3
1, (√1
3
)𝜔3
2} 
 Calculamos √1
3
 y 𝜔3
0, 𝜔3
1, 𝜔3
2. 
√1
3
= √|1|
3
𝑐𝑖𝑠 [
𝑎𝑟𝑔(1)
3
] = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠(0) = 1 ∙ 1 = 1 
 Como 𝜔3 = 𝑐𝑖𝑠(2𝜋 3⁄ ), se tiene 
𝜔3
0 = 1, 𝜔3
1 = 𝑐𝑖𝑠(2𝜋 3⁄ ), 𝜔3
2 = 𝑐𝑖𝑠(4𝜋 3⁄ ) 
 (en el 3er cálculo hemos usado la fórmula de De Moivre) 
 Podemos calcular 𝑐𝑖𝑠(2𝜋 3⁄ ) y 𝑐𝑖𝑠(4𝜋 3⁄ ) con algunos artificios: 
 Como 
2
3
=
1
2
+
1
6
 se tiene 𝑐𝑖𝑠(2𝜋 3⁄ ) = 𝑐𝑖𝑠(𝜋 2⁄ + 𝜋 6⁄ ). 
 Usando la propiedad 𝑐𝑖𝑠(𝜃1 + 𝜃2) = 𝑐𝑖𝑠(𝜃1)𝑐𝑖𝑠(𝜃2), tenemos 
 𝑐𝑖𝑠(2𝜋 3⁄ ) = 𝑐𝑖𝑠(𝜋 2)⁄ 𝑐𝑖𝑠(𝜋 6⁄ ) = 𝑖 𝑐𝑖𝑠(𝜋 6⁄ ) 
 = 𝑖 (
√3
2
+ 𝑖
1
2
) = −
1
2
+ 𝑖
√3
2
 
 Usando la fórmula de De Moivre y el resultado anterior, 
 𝑐𝑖𝑠(4𝜋 3⁄ ) = [𝑐𝑖𝑠(2𝜋 3⁄ )]2 = [𝑖 𝑐𝑖𝑠(𝜋 6)⁄ ]2 = 𝑖2 𝑐𝑖𝑠(2𝜋 6)⁄ 
 = −𝑐𝑖𝑠(𝜋 3⁄ ) = − (
1
2
+ 𝑖
√3
2
) = −
1
2
− 𝑖
√3
2
 
 Luego, 
𝜔3
0 = 1, 𝜔3
1 = −
1
2
+ 𝑖
√3
2
, 𝜔3
2 = −
1
2
− 𝑖
√3
2
 
𝑅3(1) = {1, −
1
2
+ 𝑖
√3
2
, −
1
2
− 𝑖
√3
2
} 
 7) Probar que ∀𝑧, 𝑤 ∈ ℂ: 𝑒𝑧𝑒𝑤 = 𝑒𝑧+𝑤. 
 Sean 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣. Usando la definición de 
exponencial compleja y las propiedades 𝑒𝛼𝑒𝛽 = 𝑒𝛼+𝛽 y 
𝑐𝑖𝑠(𝜃1)𝑐𝑖𝑠(𝜃2) = 𝑐𝑖𝑠(𝜃1 + 𝜃2), tenemos 
𝑒𝑧𝑒𝑤 = 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑠(𝑦)𝑒𝑢𝑐𝑖𝑠(𝑣) 
 
 
 
𝑒𝑧𝑒𝑤 = 𝑒𝑥𝑒𝑢𝑐𝑖𝑠(𝑦)𝑐𝑖𝑠(𝑣) 
 = 𝑒𝑥+𝑢𝑐𝑖𝑠(𝑦 + 𝑣) 
 = 𝑒𝑥+𝑢+𝑖(𝑦+𝑣) = 𝑒𝑧+𝑤 
 8) Calcular 𝐿𝑛(1), 𝐿𝑛(−1), 𝐿𝑛(𝑖) y 𝐿𝑛(−𝑖). 
 Usamos la fórmula 𝐿𝑛(𝑧) = ln(𝑧) + 𝑖2𝜋ℤ. 
 Tenemos que 
 𝑙𝑛(1) = 𝑙𝑛|1| + 𝑖𝑎𝑟𝑔(1) = 𝑙𝑛1 + 𝑖0 = 0 
 𝑙𝑛(−1) = 𝑙𝑛|−1| + 𝑖𝑎𝑟𝑔(−1) = 𝑙𝑛1 + 𝑖𝜋 = 𝑖𝜋 
 𝑙𝑛(𝑖) = 𝑙𝑛|𝑖| + 𝑖𝑎𝑟𝑔(𝑖) = 𝑙𝑛1 + 𝑖 𝜋 2⁄ = 𝑖 𝜋 2⁄ 
 𝑙𝑛(−𝑖) = 𝑙𝑛|−𝑖| + 𝑖𝑎𝑟𝑔(−𝑖) = 𝑙𝑛1 + 𝑖(−𝜋 2⁄ ) = −𝑖 𝜋 2⁄ 
 Luego, 
 𝐿𝑛(1) = 𝑖2𝜋ℤ, 𝐿𝑛(−1) = 𝑖𝜋 + 𝑖2𝜋ℤ, 
 𝐿𝑛(𝑖) = 𝑖 𝜋 2⁄ + 𝑖2𝜋ℤ, 𝐿𝑛(−𝑖) = −𝑖 𝜋 2 + 𝑖2𝜋ℤ⁄ 
 9) Probar que ∀𝑧 ∈ ℂ: (√𝑧)
2
= 𝑧. 
 Si 𝑧 = 0, entonces 
(√0)
2
= 02 = 0 
 Sea 𝑧 ≠ 0, usando la def. de raíz cuadrada compleja, la fórmula de 
 De Moivre y la def. de forma trigonométrica de un complejo, se 
 tiene 
(√𝑧)
2
= (√|𝑧|𝑐𝑖𝑠 [
𝑎𝑟𝑔(𝑧)
2
])
2
= (√|𝑧|)
2
(𝑐𝑖𝑠 [
𝑎𝑟𝑔(𝑧)
2
])
2
 
 = |𝑧|𝑐𝑖𝑠[𝑎𝑟𝑔(𝑧)] = 𝑧 
10) Decidir si es verdadero o falso: 
√(1 + 𝑖)2 = 1 + 𝑖, √(−1 + 𝑖)2 = −1 + 𝑖 
 Calculamos los lados izquierdos de estas ecuaciones para ver si 
coinciden con sus respectivos lados derechos. 
 
 
 
 √(1 + 𝑖)2 = √12 + 2𝑖 + 𝑖2 = √2𝑖 
 = √|2𝑖|𝑐𝑖𝑠[𝑎𝑟𝑔(2𝑖) 2⁄ ] = √2𝑐𝑖𝑠(𝜋 4⁄ ) 
= √2 (
1 + 𝑖
√2
) = 1 + 𝑖 
 La 1ra proposición es verdadera. 
 Por otro lado 
 √(−1 + 𝑖)2 = √(−1)2 − 2𝑖 + 𝑖2 = √−2𝑖 
 = √|2𝑖|𝑐𝑖𝑠[𝑎𝑟𝑔(−2𝑖) 2⁄ ] = √2𝑐𝑖𝑠(−𝜋 4⁄ ) 
= √2 (
1 − 𝑖
√2
) = 1 − 𝑖 ≠ −1 + 𝑖 
 La 2da proposición es falsa.