TP4 Sistemas Lineales Homogéneos [1-6]

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TP4 Sistemas Lineales Homogéneos [1-6] 
Eigenvalores reales simples 
 
 Hallar la solución general de los siguientes SLH’s 
1) 
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 4𝑥 + 3𝑦
 
La matriz del SLH es (
1 2
4 3
). 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 1 −2
−4 𝜆 − 3
) = 0 ⇔ (𝜆 − 1)(𝜆 − 3) − 8 = 0 
𝜆2 − 4𝜆 − 5 = 0 
 Los eigenvalores son −1 y 5. 
 Eigenvectores asociados a −1: 
(
−2 −2
−4 −4
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
1 1
1 1
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 ⇔ (
1 1
0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 ⇔ 𝑘1 + 𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a −1 son 𝛼 (
−1
 1
) , 𝛼 ≠ 0. 
 Eigenvectores asociados a 5: 
 (
 4 −2
−4 2
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
2 −1
2 −1
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 ⇔ (
2 −1
0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 ⇔ 2𝑘1 − 𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a 5 son 𝛽 (
1
2
) , 𝛽 ≠ 0. 
 Por el teorema (solución de un SLH con eigenvalores reales simples), la 
solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
−1
 1
) 𝑒−𝑡 + 𝑐2 (
1
2
) 𝑒5𝑡 
 
2) 
{
 
 
 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥 + 𝑦 − 𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑦 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 𝑦 − 𝑧 
 
 La matriz del SLH es (
1 1 −1
0 2 0
0 1 −1
). 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 1 −1 1
0 𝜆 − 2 0
0 −1 𝜆 + 1
) = 0 
 (𝜆 − 2)𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 1 1
0 𝜆 + 1
) = 0 
 (𝜆 − 2)(𝜆 − 1)(𝜆 + 1) = 0 
 Los eigenvalores son −1, 1 y 2. 
 Eigenvectores asociados a −1: 
(
−2 −1 1
 0 −3 0
 0 −1 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
2 1 −1
0 1 0
 0 1 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 ⇔ (
2 1 −1
0 1 0
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 ⇔ 2𝑘1 + 𝑘2 − 𝑘3 = 0, 𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a −1 son 𝛼 (
1
0
2
) , 𝛼 ≠ 0. 
 Eigenvectores asociados a 1: 
(
0 −1 1
0 −1 0
0 −1 2
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
0 1 −1
0 1 0
0 1 −2
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 ⇔ (
0 1 −1
0 0 1
 0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 ⇔ 𝑘2 − 𝑘3 = 0, 𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a 1 son 𝛽 (
1
0
0
) , 𝛽 ≠ 0. 
 Eigenvectores asociados a 2: 
(
1 −1 1
0 0 0
0 −1 3
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 −1 1
0 1 −3
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 ⇔ 𝑘1 − 𝑘2 + 𝑘3 = 0, 𝑘2 − 3𝑘3 = 0 
 Los eigenvectores asociados a 2 son 𝛾 (
2
3
1
) , 𝛾 ≠ 0. 
 Por el teorema (solución de un SLH con eigenvalores reales simples), la 
solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
1
0
2
)𝑒−𝑡 + 𝑐2 (
1
0
0
)𝑒𝑡 + 𝑐3 (
2
3
1
)𝑒2𝑡 
 
3) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
10 −5
8 −12
)𝑋 
 La matriz del SLH es (
10 −5
8 −12
). 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 10 5
−8 𝜆 + 12
) = 0 ⇔ (𝜆 − 10)(𝜆 + 12) + 40 = 0 
 ⇔ 𝜆2 + 2𝜆 − 80 = 0 
 Los eigenvalores son 8 y −10. 
 Eigenvectores asociados a 8: 
(
−2 5
−8 20
)(
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
−2 5
−2 5
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 ⇔ (
−2 5
 0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 ⇔ −2𝑘1 + 5𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a 8 son 𝛼 (
5
2
) , 𝛼 ≠ 0. 
 Eigenvectores asociados a −10. 
(
−20 5
−8 2
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
−4 1
−4 1
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 ⇔ (
−4 1
 0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 ⇔ −4𝑘1 + 𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a −10 son 𝛽 (
1
4
) , 𝛽 ≠ 0. 
 Por el teorema (solución de un SLH con eigenvalores reales simples), la 
solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
5
2
) 𝑒8𝑡 + 𝑐2 (
1
4
) 𝑒−10𝑡 
 
4) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
−1 1 0
 1 2 1
 0 3 −1
)𝑋 
 La matriz del SLH es (
−1 1 0
 1 2 1
 0 3 −1
). 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 + 1 −1 0
 −1 𝜆 − 2 −1
 0 −3 𝜆 + 1
) = 0 
(𝜆 + 1)𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 2 −1
−3 𝜆 + 1
) − (−1)𝑑𝑒𝑡 (
−1 −1
 0 𝜆 + 1
) = 0 
 (𝜆 + 1)(𝜆2 − 𝜆 − 6) = 0 
 Los eigenvalores son −1, −2 y 3. 
 Eigenvectores asociados a −1: 
(
 0 −1 0
 −1 −3 −1
 0 −3 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 3 1
0 1 0
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 𝑘1 + 3𝑘2 + 𝑘3 = 0, 𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a −1 son 𝛼 (
−1
 0
 1
) , 𝛼 ≠ 0. 
 Eigenvectores asociados a −2: 
(
−1 −1 0
−1 −4 −1
 0 −3 −1
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 1 0
0 3 1
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 𝑘1 + 𝑘2 = 0, 3𝑘2 + 𝑘3 = 0 
 Los eigenvectores asociados a −2 son 𝛽 (
 1
−1
 3
) , 𝛽 ≠ 0. 
 Eigenvectores asociados a 3: 
(
 4 −1 0
−1 1 −1
 0 −3 4
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 −1 1
0 3 −4
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 𝑘1 − 𝑘2 + 𝑘3 = 0, 3𝑘2 − 4𝑘3 = 0 
 Los eigenvectores asociados a 3 son 𝛾 (
1
4
3
) , 𝛾 ≠ 0. 
 Por el teorema (solución de un SLH con eigenvalores reales simples), la 
solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
−1
 0
 1
) 𝑒−𝑡 + 𝑐2 (
 1
−1
 3
) 𝑒−2𝑡 + 𝑐3 (
1
4
3
)𝑒3𝑡 
 
 Resolver los siguientes PVI’s 
5) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
1/2 0
1 −1/2
)𝑋, 𝑋(0) = (
3
5
) 
 La matriz del SLH es (
1/2 0
1 −1/2
). 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 1/2 0
−1 𝜆 + 1/2
) = 0 ⇔ (𝜆 − 1/2)(𝜆 + 1/2) = 0 
 Los eigenvalores son 1/2 y −1/2. 
 Eigenvectores asociados a −1/2: 
(
−1 0
−1 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
1 0
0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ 𝑘1 = 0 
 Los eigenvectores asociados a −1/2 son 𝛼 (
0
1
) , 𝛼 ≠ 0. 
 Eigenvectores asociados a 1/2: 
(
 0 0
−1 1
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
1 −1
0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 ⇔ 𝑘1 − 𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a 1/2 son 𝛽 (
1
1
) , 𝛽 ≠ 0. 
 La solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
0
1
) 𝑒−𝑡/2 + 𝑐2 (
1
1
) 𝑒𝑡/2 
 La solución del PVI es la solución particular del SLH que satisface 
condición inicial 𝑋(0) = (
3
5
), sus coeficientes 𝑐1, 𝑐2 están dados por 
𝑐1 (
0
1
) 𝑒−0/2 + 𝑐2 (
1
1
) 𝑒0/2 = (
3
5
) 
 𝑐1 (
0
1
) + 𝑐2 (
1
1
) = (
3
5
) 
 𝑐2 = 3, 𝑐1 + 𝑐2 = 5 
 Luego, la solución del PVI es 
𝑋(𝑡) = 2 (
0
1
) 𝑒−𝑡/2 + 3(
1
1
) 𝑒𝑡/2 
 
6) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
1 1 4
0 2 0
1 1 1
)𝑋, 𝑋(0) = (
1
3
0
) 
 La matriz del SLH es (
1 1 4
0 2 0
1 1 1
). 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 1 −1 −4
 0 𝜆 − 2 0
−1 −1 𝜆 − 1
) = 0 
 (𝜆 − 2)𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 1 −4
−1 𝜆 − 1
) = 0 
 (𝜆 − 2)(𝜆2 − 2𝜆 − 3) = 0 
 Los eigenvalores son −1, 2 y 3. 
 Eigenvectores asociados a −1: 
(
−2 −1 −4
 0 −3 0
−1 −1 −2
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 1 2
0 1 0
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 𝑘1 + 𝑘2 + 2𝑘3 = 0, 𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a −1 son 𝛼 (
−2
 0
 1
) , 𝛼 ≠0. 
 Eigenvectores asociados a 2: 
(
 1 −1 −4
 0 0 0
−1 −1 1
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 −1 −4
0 2 3
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 𝑘1 − 𝑘2 − 4𝑘3 = 0, 2𝑘2 + 3𝑘3 = 0 
 Los eigenvectores asociados a 2 son 𝛽 (
 5
−3
 2
) , 𝛽 ≠ 0. 
 Eigenvectores asociados a 3: 
(
 2 −1 −4
 0 1 0
−1 −1 2
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 1 −2
0 1 0
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 𝑘1 + 𝑘2 − 2𝑘3 = 0, 𝑘2 = 0 
 Los eigenvectores asociados a 3 son 𝛾 (
2
0
1
) , 𝛾 ≠ 0. 
 La solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
−2
 0
 1
) 𝑒−𝑡 + 𝑐2 (
 5
−3
 2
) 𝑒2𝑡 + 𝑐3 (
2
0
1
)𝑒3𝑡 
 La solución del PVI es la solución particular del SLH que satisface 
condición inicial 𝑋(0) = (
1
3
0
), sus coeficientes 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 satisfacen 
𝑐1 (
−2
 0
 1
) 𝑒−0 + 𝑐2 (
 5
−3
 2
) 𝑒2∙0 + 𝑐3 (
2
0
1
)𝑒3∙0 = (
1
3
0
) 
𝑐1 (
−2
 0
 1
) + 𝑐2 (
 5
−3
 2
) + 𝑐3 (
2
0
1
) = (
1
3
0
) 
 La C L de vectores columna en el lado izquierdo puede escribirse como 
el producto de la matriz cuyas columnas son esos vectores columna por el 
vector columna de los coeficientes de la C L. 
(
−2 5 2
 0 −3 0
 1 2 1
)(
𝐶1
𝐶2
𝐶3
) = (
1
3
0
) 
 Resolvemos esta ecuación matricial por el algoritmo de Gauss-Jordan 
(
−2 5 2
 0 −3 0
 1 2 1
|
1
3
0
)~(
 𝟏 2 1
 0 1 0
−2 5 2
|
 0
−1
 1
)~(
1 2 1
0 𝟏 0
0 9 4
|
 0
−1
 1
) 
~(
1 2 1
0 1 0
0 0 4
|
 0
−1
 10
)~(
1 2 1
0 1 0
0 0 2
|
 0
−1
 5
) 
 Luego 
𝐶1 + 2𝐶2 + 𝐶3 = 0, 𝐶2 = −1, 2𝐶3 = 5 
⇒ 𝐶3 = 5 2⁄ , 𝐶2 = −1, 𝐶1 = −1 2⁄ 
 La solución del PVI es 
𝑋(𝑡) = −
1
2
(
−2
 0
 1
) 𝑒−𝑡 − (
 5
−3
 2
) 𝑒2𝑡 +
5
2
(
2
0
1
)𝑒3𝑡