Copia de TP1MATII-2020 - Carla Justiniano

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“EL ESTUDIO NO SE MIDE POR EL NÚMERO DE PÁGINAS LEÍDAS EN UNA NOCHE, NI 
POR LA CANTIDAD DE LIBROS LEÍDOS EN UN SEMESTRE.
ETUDIAR NO ES UN ACTO DE CONSUMIR IDEAS, SINO DE CREARLAS Y RECREARLAS” 
PAULO FREIRE
Universidad Nacional de Salta 
Facultad de Ciencias Naturales 
Carreras: IA- IRNYMA (2º Cuatrimestre 2020)
Leer en plataforma la siguiente información 
Prof. Alvarez Valeria – Silva Mercedes
Ideas para resolver actividades 1 a 3
Fac. de Cs. Naturales – UNSa. – Prof. .Silva Mercedes 
Entorno de un número real 𝑎
Entorno de reducido un número real 𝑎
Límite de una función
𝐸 = 𝑎 − ℎ, 𝑎 + ℎ , ℎ > 0
𝐸∗ = 𝑎 − ℎ, 𝑎 ∪ 𝑎, 𝑎 + ℎ , ℎ > 0
radio del intervalo 
Sea f una función definida en un entorno del número
𝑥 = 𝑎, excepto posiblemente en 𝑥 = 𝑎, entonces, se 
dice que el límite de 𝑓cuando 𝑥 tiene al n° a es 𝐿 y 
se escribe: lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 , si se puede hacer que
los valores de 𝑓(𝑥) estén arbitrariamente cercanos
a L cuando 𝑥 se aproxima al n° 𝑎, por valores 
inferiores y superiores a dicho número. 
Límites Laterales 
𝐿𝑖 = lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥Límite Lateral izquierdo: 
𝐿𝑑 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥Límite lateral derecho: 
𝑥 → 1+𝑥 → 1−
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐿
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = 3 lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = 3
1. Dominio de la función 
𝐷𝑓 = 𝑅
2. Límite de la función 𝑓
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 ⟹∃ lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 3
∧
3. Valor de la función 𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = 1
∃𝑓 1 = 0
Teorema 
∃ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 ⟺ lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
4. Observación 
∃ lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 , ∃𝑓 1 ∧ lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 1
 Para calcular el límite de una 
función ¿Es necesario que la 
función esté definida en el valor al 
cual tiende la variable 
independiente? ¿Por qué?
 Si existe el límite de una función 
𝑓 cuando la variable independiente 
tiende a un valor a, entonces ¿existe 
𝑓(𝑎)?
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐿
2. Límite de la función 𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = 3
lim
𝑥→3−
𝑓 𝑥 = 5 ∧ lim
𝑥→3+
𝑓 𝑥 = 5
lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→3+
𝑓 𝑥 ⟹∃ lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 = 5
3. Valor de la función 𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = 3
∃𝑓 3 = 5
4. Observación 
∃ lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 , ∃𝑓 3 ∧ lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 = 𝑓 3
¿Qué cambia si se tiene la siguiente gráfica? 1. Dominio de la función 
𝐷𝑓 = 𝑅 − 3
2. Límite de la función 𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = 3
∃ lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 = 5
3. Valor de la función 𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = 3
∄𝑓 3 , 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑥 = 3 ∉ 𝐷𝑓
4. Observación 
∃ lim
𝑥→3
𝑓 𝑥 ∧ ∄𝑓 3
Si no existe el límite de una función 
𝑓 cuando la variable independiente 
tiende a un valor a, entonces ¿ No 
existe 𝑓(𝑎)?
2. Límite de la función 𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = −1
lim
𝑥→−1−
)𝑓(𝑥 = 5
∄ lim
𝑥→−1+
𝑓 𝑥
∄ lim
𝑥→−1
𝑓 𝑥
3. Valor de la función 𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = −1
∃𝑓 −1 = 2
4. Observación 
∃𝑓 −1 ∧ ∄ lim
𝑥→−1
𝑓 𝑥
𝑥 → −1−
𝐿𝑖
𝑥 → −1+
𝑓 𝑥 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 sin 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒
1. Concepto de límite de una función 
2. Concepto de límites laterales 
3. Estimar los límites de una función mediante un método geométrico
Propiedades de Límite
1.Límite de una constante
lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘
2. Límite de la función identidad
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
3. Límite de la suma de funciones
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
4.Límite de una constante por una función 
lim 𝑘 ∙ 𝑓 𝑥
𝑥→𝑎
= 𝑘 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
5.Límite de potencia de una función 
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑛 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑛
(𝑛 < 0 lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ≠ 0)
6.Límite de una raíz de una función 
lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑓 𝑥 = 𝑛 lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 (𝑛 es par lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ≥ 0)
7. Límite de un producto de funciones
lim 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥
𝑥→𝑎
= lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
8. Límite de un cociente de funciones
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
, 𝑠𝑖 lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 ≠ 0
𝒊) 𝒍𝒊𝒎
𝒙 →2
−2𝒙2 + 1 = lim
𝑥 →2
−2𝑥2 +lim
𝑥 →2
1 Prop. Límite de la suma de funciones
′′ = −2 lim
𝑥 →2
𝑥2 + 1
′′ = −2 lim
𝑥 →2
𝑥
2
+ 1
′′ = −2 2 2 + 1
𝒍𝒊𝒎
𝒙 →2
−2𝒙2 + 1 = −7
Prop. Límite de una constante por una función y límite de una cte.
Prop. Límite de potencia de una función 
Prop. Límite de la función identidad
𝑥 → 2+
𝑓 𝑥 → −7
𝑥 → 2−
𝑓 𝑥 → −7
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐿
Si una función está definida como un 
cociente, para determinar si existe el 
límite PRIMERO calculamos el límite 
del denominador y pueden suceder 
dos cosas: 
1. Si el límite del denominador es 
distinto de cero SE APLICA la 
propiedad del cociente y ∃𝐿
2. Si el límite del denominador es 
igual a cero NO SE PUEDE aplicar la 
propiedad del cociente y calculamos 
el límite del numerador y pueden 
suceder dos cosas (vamos a estudiar 
en la otra clase)
𝒊𝒗. 𝒍𝒊𝒎
𝒚→4
𝒚2 + 9
𝒚
lim
𝑦→4
𝑦2 + 9
𝑦
=
lim
𝑦→4
𝑦2 + 9
lim
𝑦→4
𝑦
Prop. Límite de un cociente de funciones
′′ =
lim
𝑦→4
𝑦2 + lim
𝑦→4
9
4
Prop .Límite de una raíz de una función 
′′ =
lim
𝑦→4
𝑦 2 + 9
4
Prop. Límite de potencia de una función 
′′ =
42 + 9
4
lim
𝑦→4
𝑦2 + 9
𝑦
=
5
4
Cálculo del límite del denominador
lim
𝑦→4
𝑦 = 4 ≠ 0 ∴ aplico propiedad del cociente
b) i. Sabiendo que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓 𝑥 = 4, encuentre 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥2 + 1 ∙ 𝑓(𝑥)
Dato: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓 𝑥 = 4 Encontrar: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥2 + 1 ∙ 𝑓(𝑥)
Pregunta.
 ¿Conocemos la expresión de la función 𝑓?
 ¿𝑓 𝑥 = 4?
NO 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥2 + 1 . 𝑓(𝑥) = lim
x→3
𝑥2 + 1 ∙ lim
x→3
𝑓 𝑥
′′ = lim
x→3
𝑥2 + lim
x→3
1 ∙ 4
′′ = lim
x→3
𝑥
2
+ 1 ∙ 4
′′ = 32 + 1 ∙ 4
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥2 + 1 . 𝑓(𝑥) = 40
Ejemplo 1: Sabiendo que 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒇 𝒙 = −𝟑 y 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 = 𝟏 , calcule 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 +
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙
𝒙
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 +
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙
𝒙
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 +
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙
𝒙
=
lim
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 +
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙
lim
𝑥→2
𝑥
′′ =
lim
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 + lim
𝒙→𝟐
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙
lim
𝑥→2
𝑥
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 +
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙
𝒙
=
lim
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 +
𝟏
𝟑
lim
𝒙→𝟐
𝒇 𝒙
lim
𝑥→2
𝑥
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 +
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙
𝒙
=
𝟏 +
𝟏
𝟑
∙ −𝟑
𝟐
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 +
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙
𝒙
=
𝟏 − 𝟏
𝟐
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒈 𝒙 +
𝟏
𝟑
𝒇 𝒙
𝒙
= 𝟎
Cálculo del límite del denominador
lim
𝑥→2
𝑥 = 2 ≠ 0 ∴ aplico propiedad del cociente
 Respuesta
1. Las propiedades del límite de una función cuando la variable independiente 
tiende a un valor 𝑎, 
2. Aplicar las propiedades para el cálculo de límites
Fac. de Cs. Naturales – UNSa. – Prof. Silva Mercedes 
𝒈 𝒙 = ቐ
𝒙2 − 3 si 𝒙 < 2
2 − 𝒙 si 𝒙 > 2
en 𝑥 = 2
𝐿𝑖 = lim
𝑥→2−
𝑥2 − 3
𝐿𝑖 = lim
𝑥→2−
𝑥2 − lim
𝑥→2−
3
𝐿𝑖 = lim
𝑥→2−
𝑥
2
− lim
𝑥→2−
3
𝐿𝑖 = 2
2 − 3
𝐿𝑖 = 1
𝐿𝑑 = lim
𝑥→2+
2 − 𝑥
𝐿𝑑 = lim
𝑥→2+
2 − lim
𝑥→2+
𝑥
𝐿𝑑 = 2 − 2
𝐿𝑑 = 0
ቁ𝐿𝑖 ≠ 𝐿𝑑 ⇒ ∄lim
x→2
𝑔(𝑥
 Pregunta.
𝐷𝑓 = 𝑅 − 2
¿∃𝑔 2 ?
∄𝑔 2 , 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑥 = 2 ∉ 𝐷𝑓
 Respuesta
 Observación 
∄𝑔 2 y ∄ lim
𝑥→2
𝑔 𝑥
Si se conocen los límites laterales de 
una función cuando la variable 
independiente tiende a un valor 𝑎
¿Es posible afirmar que la función 
tiene límite en 𝑎?
Ejemplo 2: Consiga de la actividad 3 
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥2 − 3 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑒𝑛 𝑥 = 0
𝐷𝑓 = 𝑅 − 0
𝐿𝑖 = lim
𝑥→0−
𝑥2 − 3
𝐿𝑖 = lim
𝑥→0−
𝑥2 − lim
𝑥→0−
3
𝐿𝑖 = lim
𝑥→0−
𝑥
2
− 3
𝐿𝑖 = 0
2 − 3
𝐿𝑖 = −3
𝐿𝑑 = lim
𝑥→0+
𝑥 − 3
𝐿𝑑 = lim
𝑥→0
𝑥 − lim
𝑥→0+
3
𝐿𝑑 = 0 − 3
𝐿𝑑 = −3
𝐿𝑖 = 𝐿𝑑 ⟹ ∃ lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = − 3
 Pregunta...
¿∃𝑓 0 ?
∄𝑓 0 , 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑥 = 0 ∉ 𝐷𝑓
La función no está definida en 𝑥 = 0, es decir ∄𝑓 0 y sin embargo
existe el límite de la función cuando 𝑥 tiene a cero, es decir
∃ lim
𝑥→0
𝑓 𝑥
 Respuesta
 Observación 
Ejemplo 3: Consiga de la actividad 3
g 𝑥 = ൞
1
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 < 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
𝑒𝑛 𝑥 = 0
𝐷𝑓 = 𝑅
𝐿𝑖 = lim
𝑥→0−
1
𝑥
Calculo el límite del denominador
lim𝑥→0− 𝑥 = 0 ∴ No se puede aplicar propiedad 
del cociente
Calculo el límite del numerador
lim
𝑥→0−
1 =1 ≠ 0
∴ ∄𝐿𝑖
𝐿𝑑 = lim
𝑥→0+
−𝑥
𝐿𝑑 = −1lim
𝑥→0+
𝑥
𝐿𝑑 = −1 ∙ 0
𝐿𝑑 = 0
∄𝐿𝑖 ∧ 𝐿𝑑 = 0 ⟹ ∄ lim
𝑥→0
𝑔 𝑥
 Pregunta...
¿∃𝑔 0 ?
 Respuesta
∃𝑔 0 = −0 = 0
1. Calcular los límites laterales2. Aplicar el teorema para decir la existencia del límite