3 1 Ecuaciones Integrales 202304

Vista previa del material en texto

Mecánica de Fluidos UTN FRH 
ECUACIONES INTEGRALES DE 
CONSERVACIÓN
Mecánica de Fluidos 
2
• DEFINICIÓN DE SISTEMA, PROPIEDADES 
EXTENSIVAS E INTENSIVAS.
• PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES.
• VOLUMEN DE CONTROL.
• TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.
• CONSERVACIÓN DE LA MASA.
• CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ECUACIÓN DE BERNOULLÍ.
ECUACIONES INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
3
• DEFINICIÓN DE SISTEMA, PROPIEDADES 
EXTENSIVAS E INTENSIVAS.
• PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES.
• VOLUMEN DE CONTROL.
• TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.
• CONSERVACIÓN DE LA MASA.
• CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ECUACIÓN DE BERNOULLÍ.
ECUACIONES INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
Sistema
• Es una porción de materia con masa e identidad fijas, que
tomamos como objeto de estudio;
• Compuesto siempre por el mismo grupo de “partículas”
Sistema cerrado: 
Intercambia energía con 
(o sufre acciones de) el 
medio pero no 
intercambia masa (su 
masa no varía)
Sistema
Volumen
de
control
Superficie
de
control
Propriedades intensivas y extensivas
• Se denomina “intensiva” a cualquier magnitud asociada a una
substancia que sea independiente de su masa (ej.
temperatura, velocidad, volumen específico);
• Magnitud “extensiva” es aquella que depende de la masa de la
substancia (ej. volumen);
• Toda magnitud extensiva tiene una intensiva que le
corresponde, denominada magnitud específica:
Propriedades intensivas y extensivas
𝑁 = න
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑁
𝑑𝑚
𝜌 𝑑𝜐 = න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝜂 𝜌 𝑑𝜐
Extensivas Intensivas
Masa
Cantidad de Movimiento
Entropía
Momento de la Cantidad de Movimiento
Energía Total EspecíficaEnergía Total
Vm 
VmrN =
 m
Vr =
Entropía Específica
Velocidad
7
• DEFINICIÓN DE SISTEMA, PROPIEDADES 
EXTENSIVAS E INTENSIVAS.
• PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES.
• VOLUMEN DE CONTROL.
• TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.
• CONSERVACIÓN DE LA MASA.
• CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ECUACIÓN DE BERNOULLÍ.
ECUACIONES INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
Principios fundamentales de conservación.
• Conservación de la masa.
• Conservación de la cantidad de movimiento (2a ley de Newton).
• Conservación de la energía (1er ppio. de la termodinámica).
• Conservación del momento de la cantidad de movimiento.
• Segundo principio de la termodinámica
ቤ
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝜌 𝑑𝜐 = 0
෍𝐹 = 𝑚 𝑎 ; ෍ ቚ𝐹
𝑠𝑖𝑠𝑡
= ቤ𝑚
𝑑𝑉
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
= ቤ
𝑑 𝑚 𝑉
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝑉 𝜌 𝑑𝜐
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 = ቤ
𝑑𝐸
𝑑𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑡
; ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝑒 𝜌 𝑑𝜐
𝑒 = u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 “u” es Energía Interna Específica
u = 𝑐v 𝑇
9
• DEFINICIÓN DE SISTEMA, PROPIEDADES 
EXTENSIVAS E INTENSIVAS.
• PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES.
• VOLUMEN DE CONTROL.
• TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.
• CONSERVACIÓN DE LA MASA.
• CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ECUACIÓN DE BERNOULLÍ.
ECUACIONES INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
Planteo de los principios de conservación en volúmenes 
de control
• Los principios que acabamos de recordar son balances que nos dicen que los
cambios en el tiempo de una magnitud extensiva del sistema, son producidos
por ciertas acciones externas que balancean la no conservación de dicha
magnitud en el tiempo. (en el caso de la masa, la misma se conserva y no hay
efectos externos a considerar)
• Pero cuando el sistema es un fluido, seguir al sistema en su recorrido
(descripción Lagrangeana) puede resultar menos práctico que analizar qué pasa
en una determinada región del espacio (descripción Euleriana) que se
selecciona convenientemente (volumen de control).
• Entonces se define una región del espacio que puede ser analizada y luego se
transforman “los principios definidos para un sistema” en “principios definidos
para un volumen de control”.
• El resultado es un análisis en el tiempo de “lo que salió menos lo que entró”
mas “la diferencia entre lo que había y lo que quedó” en el volumen de control.
Estos cambios son los que se balancean contra los efectos externos que los
producen.
• Es una región del espacio delimitada por una frontera por 
donde fluye una determinada cantidad de materia. 
• Se define por conveniencia. En gral. podrá ser móvil o fijo, de 
forma y tamaño variable o constante. 
Volumen de control
Superficie de control (s.c.) 
Contiene las entradas, las 
salidas y el resto de la 
frontera. 
Entrada
Salida
Entrada
Volumen
de control 
ത𝑉3
ത𝑉1
ത𝑉2
�ු�
�ු�
�ු�
Entrada
Salida
ത𝑉. 𝑑 ҧ𝐴 = ത𝑉. �ු� 𝑑𝐴
𝑑 ҧ𝐴 = 𝑑𝐴 �ු�ത𝑉. 𝑑 ҧ𝐴 = ത𝑉. �ු� 𝑑𝐴 = 𝑉 𝑑𝐴 cos 𝜃
ത𝑉. �ු�
ത𝑉. �ු�
�ු�
ത𝑉. �ු�
�ු�
ത𝑉
ത𝑉
𝜃
𝜃
Observación:
Efectivamente, el producto escalar ത𝑉 ∙ �ු� 𝐴 puede
entenderse como la proyección de ത𝑉 sobre la dirección
de �ු� 𝐴 , aunque también puede entenderse como la
proyección del área A (no perpendicular a ത𝑉) sobre una
superficie que sí es perpendicular a ത𝑉
ത𝑉
�ු�
A
𝜃
𝐴 cos 𝜃
Luego ത𝑉 ∙ �ු� 𝐴 = 𝑉 𝐴 cos 𝜃
es efectivamente el caudal 
volumétrico en la dirección 
de ത𝑉𝜃
13
• DEFINICIÓN DE SISTEMA, PROPIEDADES 
EXTENSIVAS E INTENSIVAS.
• PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES.
• VOLUMEN DE CONTROL.
• TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.
• CONSERVACIÓN DE LA MASA.
• CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ECUACIÓN DE BERNOULLÍ.
ECUACIONES INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
Teorema del Transporte de Reynolds
• Permite transformar las ecuaciones definidas para un sistema
(descripción Lagrangeana) en ecuaciones definidas para un volumen
de control (descripción Euleriana)
• Se define en forma general para una magnitud extensiva N y luego
se aplica sistemáticamente para los diferentes principios de
conservación. (masa, cantidad de movimiento y energía)
• Como este análisis se hace sobre un volumen finito (no sobre un
volumen elemental o diferencial de volumen), las expresiones que se
obtienen son expresiones integrales o globales que no nos permiten
conocer que pasa a nivel elemental (punto a punto) pero sirven para
establecer relaciones globales.
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝐶
𝜂 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
�ු�
�ු�
𝑑𝐴
𝑑𝐴
Teorema del Transporte de Reynolds
𝑑𝜐1
𝑑𝜐3
Volumen de control 
fijo e indeformable
Sistema en t + Δ𝑡
El volumen de control ocupa 
los espacios y 2.
El sistema en el instante t 
ocupa los espacios 1 y 2.
El sistema en el instante t + Δ𝑡
ocupa los espacios 2 y 3.1
2
3
𝑑𝜐1 es un diferencial de volumen de flujo entrante al VC durante el tiempo Δ𝑡. Se 
podría escribir 𝑑𝜐1 = 𝑑𝜐𝑒
𝑑𝜐3 es un diferencial de volumen de flujo saliente al VC durante el tiempo Δ𝑡. Se 
podría escribir 𝑑𝜐3 = 𝑑𝜐𝑠
Teorema del Transporte de Reynolds
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
= lim
Δ𝑡→0
𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁𝑠𝑖𝑠(𝑡)
Δ𝑡
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
= lim
Δ𝑡→0
𝑁3(𝑡 + Δ𝑡) + 𝑁2(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁2(𝑡) − 𝑁1(𝑡)
Δ𝑡
= lim
Δ𝑡→0
𝑁2(𝑡 + Δ𝑡) + 𝑁1(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁2(𝑡) − 𝑁1(𝑡)
Δ𝑡
+ lim
Δ𝑡→0
𝑁3(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁1(𝑡 + Δ𝑡)
Δ𝑡
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
= lim
Δ𝑡→0
𝑁𝑉.𝐶(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁𝑉.𝐶(𝑡)
Δ𝑡
+ lim
Δ𝑡→0
𝑁3(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁1(𝑡 + Δ𝑡)
Δ𝑡
𝜃
Teorema del Transporte de Reynolds
�ු�
�ු�
𝑑𝐴
𝑑𝐴
𝑑𝜐1
𝑑𝜐3Volumen de control 
fijo e indeformable
𝜃
ത𝑉
ത𝑉
𝑑𝜐𝑒 = 𝑑𝜐1 = −Δ𝑡 𝑉. 𝑑𝐴 = 
= −Δ𝑡 𝑉 𝑑𝐴 cos 𝜃
𝑑𝜐𝑠 = 𝑑𝜐3 = Δ𝑡 𝑉. 𝑑𝐴 = 
= Δ𝑡 𝑉 𝑑𝐴 cos𝜃
𝑁3(𝑡 + Δ𝑡) = න
𝐴3
𝜂 𝜌 Δ𝑡 𝑉. 𝑑𝐴
𝑁1(𝑡 + Δ𝑡) = − න
𝐴1
𝜂 𝜌 Δ𝑡 𝑉. 𝑑𝐴
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
= lim
Δ𝑡→0
𝑁𝑉.𝐶(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁𝑉.𝐶(𝑡)
Δ𝑡
+ lim
Δ𝑡→0
𝑁3(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁1(𝑡 + Δ𝑡)
Δ𝑡
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
= ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑉𝐶
+ lim
Δ𝑡→0
𝑁3(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁1(𝑡 + Δ𝑡)
Δ𝑡
Sistema 
en t + Δ𝑡
𝑁 = න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝜂 𝜌 𝑑𝜐
Recordar:
Teorema del Transporte de Reynolds
𝑁3(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑁1(𝑡 + Δ𝑡) = Δ𝑡 න
𝑆𝐶
𝜂 𝜌 𝑉. 𝑑𝐴
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
= ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑉𝐶
+ lim
Δ𝑡→0
𝑁3(𝑡+ Δ𝑡) − 𝑁1(𝑡 + Δ𝑡)
Δ𝑡
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
= ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑉𝐶
+ න
𝑠𝑐
𝜂 𝜌 𝑉. 𝑑𝐴
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝐶
𝜂 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
Teorema de Transporte de Reynolds => Transformación de sistema a volumen de control.
El 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 neto de la magnitud N es න
𝑠𝑐
𝜂 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
𝑑𝜐𝑠 = Δ𝑡 ത𝑉𝑟 . 𝑑𝐴 = 
= Δ𝑡 𝑉𝑟 𝑑𝐴 cos 𝜃
Teorema del Transporte de Reynolds
𝑉𝑟 = 𝑉 − 𝑉𝑠
Si ahora el volumen de control se mueve y deforma arbitrariamente:
Vr: Velocidad del Fluido 
respecto de la superficie 
de control (ventana) que 
se está evaluando.
V: Velocidad del Fluido 
respecto de la terna de 
referencia.
Vs: Velocidad de la 
superficie de control 
(ventana) que se está 
evaluando, respecto de la 
terna de referencia.
𝜃�ු�
�ු�
𝑑𝐴
𝑑𝐴
𝑑𝜐𝑒
𝑑𝜐𝑠
Volumen 
de control 
en t + Δ𝑡
𝜃
ത𝑉𝑟
ത𝑉𝑟
𝑑𝜐𝑒 = −Δ𝑡 ത𝑉𝑟 . 𝑑𝐴 = 
= −Δ𝑡 𝑉𝑟 𝑑𝐴 cos 𝜃
Sistema 
en t + Δ𝑡
VC y 
sistema 
en t 
ത𝑉𝑠
𝑉
𝑉
ത𝑉𝑠
𝑑𝐴 = 𝑑𝐴 �ු� ; ത𝑉𝑟. 𝑑𝐴 = 𝑑𝐴 ത𝑉𝑟 . �ු�
Teorema del Transporte de Reynolds
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝐶
𝜂 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
Tasa de variación de 
la propriedad 
extensiva en el VC
Flujo de la propriedad 
extensiva a través de la 
superfície de control 
≠ 0 solamente adonde el 
fluido atraviesa la 
superfície de control
Derivada total de la 
propiedad extensiva 
en el sistema.
Teorema del Transporte de Reynolds
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝜂 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
Tasa de variación de 
la propriedad 
extensiva en el VC
Flujo de la propriedad 
extensiva a través de la 
superfície de control 
≠ 0 Superficie de las 
ventanas (SV)
Derivada total de la 
propiedad extensiva 
en el sistema.
22
• DEFINICIÓN DE SISTEMA, PROPIEDADES 
EXTENSIVAS E INTENSIVAS.
• PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES.
• VOLUMEN DE CONTROL.
• TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.
• CONSERVACIÓN DE LA MASA.
• CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ECUACIÓN DE BERNOULLÍ.
ECUACIONES INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
Conservación de la masa
Aplicando el teorema de Reynolds
al principio de conservación de la masa:
tenemos:
𝑁 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 = 𝑚 ⇒ 𝜂 =
𝑑𝑁
𝑑𝑚
=
𝑑𝑚
𝑑𝑚
= 1
𝑁 = 𝑚
𝜂 = 1
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝜂 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴 = 0
ቤ
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝜌 𝑑𝜐 = 0
Variación de la 
masa en el V.C.
Flujos de entrada y salida a 
través de las Ventanas
Conservación de la masa
𝐺 = ሶ𝑚 = න
𝑆𝑉
𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
Flujo másico a través de la
superfície de control...
o también Caudal Másico.
▪ Algunas definiciones útiles: 
𝑄 = න
𝑆𝑉
𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
Flujo volumétrico a través de la
superfície de control...
o también Caudal Volumétrico.
𝑉𝑚 =
1
𝐴
න
𝑆𝑉
𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴 =
𝑄
𝐴 Velocidad media (en la sección).
𝜌𝑚 =
1
𝐴
න
𝑆𝑉
𝜌 𝑑𝐴 Densidad media (en la sección).
Hipótesis simplificativas
▪ Si el flujo es estacionario, nada depende del tiempo y por lo
tanto la derivada temporal es nula. Resulta:
▪ Si, además, se tiene un número “n” de ventanas:
▪ Si, además, el flujo es uniforme (no depende de la posición en
las ventanas del volumen de control. Esto se da cuando el
flujo es unidimensional), entonces las velocidades y las
densidades pueden salir fuera de la integral:
න
𝑆𝑉
𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴 = 0
෍
𝑖=1
𝑛
න
𝑖
𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴 = 0
෍
𝑖=1
𝑛
𝜌𝑖 ቚ𝑉𝑟
𝑖
⋅ 𝐴𝑖 = 0
▪ Si además de ser un flujo permanente y uniforme en las
ventanas, se trata de un conducto con una entrada y una
salida (dos ventanas):
… y si las superficies de entrada y salida son perpendiculares
al flujo, realizando el producto escalar, resulta:
▪ Si el volumen de control está fijo y no se mueve,
directamente:
෍
𝑖=1
2
𝜌𝑖 ቚ𝑉𝑟
𝑖
⋅ 𝐴𝑖 = 𝜌1 ቚ𝑉𝑟
1
⋅ 𝐴1 + 𝜌2 ቚ𝑉𝑟
2
⋅ 𝐴2 = 0
−𝜌1 𝑉𝑟1 𝐴1 + 𝜌2 𝑉𝑟2 𝐴2 = 0
−𝜌1 𝑉1 𝐴1 + 𝜌2 𝑉2 𝐴2 = 0
−𝐺1 + 𝐺2 = 0
Hipótesis simplificativas
▪ Por último si el flujo además es incompresible, entonces la
densidad es constante, y por lo tanto es la misma en todas las
ventanas.
Observación:
Cada una de las hipótesis hechas anteriormente se podrá
aplicar en forma independiente de las otras según
corresponda. Por ejemplo, si el flujo es incompresible pero no
es permanente ni uniforme, podremos escribir:
−𝜌 𝑉1 𝐴1 + 𝜌 𝑉2 𝐴2 = 0
−𝑉1 𝐴1 + 𝑉2 𝐴2 = 0 −𝑄1 + 𝑄2 = 0
Hipótesis simplificativas
𝜕𝑉𝐶
𝜕𝑡
+ න
𝑆𝑉
𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴 = 0
28
• DEFINICIÓN DE SISTEMA, PROPIEDADES 
EXTENSIVAS E INTENSIVAS.
• PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES.
• VOLUMEN DE CONTROL.
• TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.
• CONSERVACIÓN DE LA MASA.
• CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ECUACIÓN DE BERNOULLÍ.
ECUACIONES INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
Aplicando el teorema de Reynolds
al principio de conservación de C. de M.:
tenemos: 𝑁 = 𝑚 𝑉
𝜂 = 𝑉
ቤ
𝑑 𝑚𝑉
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
Variación de la CM 
en el VC.
Flujos de CM de entrada y 
salida a través de las ventanas
Conservación de la cantidad de movimiento
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝜂 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
𝑁 = 𝐶𝑎𝑛𝑡. 𝑀𝑜𝑣.= 𝑚 𝑉 ⇒ 𝜂 =
𝑑𝑁
𝑑𝑚
=
𝑑 𝑚 𝑉
𝑑𝑚
= 𝑉
∑𝐹𝑒𝑥𝑡 = ቤ
𝑑 𝑚𝑉
𝑑𝑡 𝑆𝑖𝑠𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝑉 𝜌 𝑑𝜐
Aplicando el teorema de Reynolds
al principio de conservación de C. de M.:
tenemos: 𝑁 = 𝑚 𝑉
𝜂 = 𝑉
∑𝐹𝑒𝑥𝑡 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
∑𝐹𝑒𝑥𝑡 = ቤ
𝑑 𝑚𝑉
𝑑𝑡 𝑆𝑖𝑠𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝑉 𝜌 𝑑𝜐
Variación de la CM 
en el VC.
Conservación de la cantidad de movimiento
𝑁 = 𝐶𝑎𝑛𝑡. 𝑀𝑜𝑣.= 𝑚 𝑉 ⇒ 𝜂 =
𝑑𝑁
𝑑𝑚
=
𝑑 𝑚 𝑉
𝑑𝑚
= 𝑉
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝜂 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
Flujos de CM de entrada y 
salida a través de las ventanas
Conservación de la cantidad de movimiento
▪ La sumatoria de fuerzas exteriores involucra fuerzas de superficie y fuerzas 
másicas.
▪ Fuerzas másicas:
en donde el vector es la intensidad de campo másico. Por ejemplo, si se 
trata del campo gravitatorio y el eje z se dirige en dirección vertical, se 
tiene: 
▪ Fuerzas de superficie:
𝐹𝑀 = න
𝑉𝐶
𝐵 𝜌 𝑑𝜐
Nota: Si el campo de fuerzas es conservativo existe una función potencial Um tal que: 𝐵 = −∇ 𝑈𝑚
𝐵 = −𝑔 ෰𝑘
∑𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹𝑆 + 𝐹𝑀
𝐹𝑆 = න
𝑆𝐶
𝑇 𝑑𝐴
𝐵
en donde el vector representa a las fuerzas por unidad de área distribuidas 
en la superficie completa SC. 
𝑇
𝑇 = −𝑝 �ු� + 𝜏𝑆𝐶 Ƽ𝑡
Las fuerzas de superficie son debidas a presiones y 
tensiones viscosas que actúan sobre la superficie de 
control
Ƽ𝑡
Conservación de la cantidad de movimiento
▪ entonces resulta:
▪ De acuerdo a nuestro desarrollo esta ecuación representa un equilibrio 
(dinámico, incluyendo las fuerzas de inercia ) sobre el fluido que está 
dentro de un volumen de control que lo delimita. 
▪ Los vectores y son fzas por unidad de masa y superficie y actúan en 
todo el VC y la SC respectivamente. 
න
𝑆𝐶
𝑇 𝑑𝐴 + න
𝑉𝐶
𝐵 𝜌 𝑑𝜐 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
𝑚 ത𝑎
�ු�
𝑇 = −𝑝 �ු� + 𝜏𝑆𝐶 Ƽ𝑡
VC
SC la superficie completa es una superficie matemáticamente cerrada, pero
está compuesta por superficies a través de las cuales hay flujo (ventanas ) y
superficies a través de las cuales no hay flujo .
𝐴𝑖
𝑆
𝐵
𝑇
𝐵 𝑇
𝑆𝐶 ≡ 𝑆 + 𝑆𝑉
𝑆
𝐴𝑖
Ƽ𝑡 es un vector unitario tangente a la superficie en la 
dirección en la que actúan las 𝜏𝑆𝐶
𝑆𝑉 ≡ 𝐴1 +⋯+ 𝐴𝑖 +⋯+ 𝐴𝑛
Conservación de la cantidad de movimiento
▪ Como se dijo anteriormente, la expresión planteada para la ecuación
integral de cantidad de movimiento fue obtenida para un VC que contiene
sólo al fluido. Pero, como se explicó cuando se definió el concepto de
volumen de control, éste puede elegirse de maneras muy variadas
pudiendo,por ejemplo, contener a los accesorios sólidos dentro del mismo
(no sólo al fluido). De hecho, muchas veces resulta práctico incorporar a los
accesorios dentro del VC.
▪ A continuación se verá un ejemplo a partir del cual se generalizará una
expresión de la ecuación integral de cantidad de movimiento que permitirá
determinar las fuerzas resultantes que los accesorios dentro del VC ejercen
sobre el fluido (y viceversa).
Conservación de la cantidad de movimiento
Calcular la fuerza total en la dirección x sobre los
bulones en la brida. La tubería a la izquierda es rígida
y no se mueve. Los bulones sujetan a la boquilla.
Si se plantea el diagrama de cuerpo libre de la
boquilla (sin considerar al fluido, como si
fuera un problema de estática) se tiene lo
siguiente:
Sobre el accesorio (boquilla) actúan las
presiones del fluido en la pared que varían de
p1 a p2=patm. Además actúan las tensiones del
fluido en la pared, las fuerzas ejercidas por los
bulones y, en la superficie exterior, la patm.
Conservación de la cantidad de movimiento
Entonces sobre la boquilla actúan las fuerzas de los bulones, cuya resultante
total es Rx , las fuerzas aplicadas por el fluido en la superficie S (que es la
superficie interna de la boquilla sin considerar las áreas de pasaje de flujo) y la
presión atmosférica en el exterior. Planteando, el equilibrio de fuerzas en la
dirección x:
Σ𝐹𝑥 = 0 ;
𝑅𝑥 +න
𝑆
𝜏𝑤 cos 𝜃 𝑑𝐴 + න
𝑆 (𝑖𝑛𝑡)
𝑝 sin 𝜃 𝑑𝐴 − න
𝑆 (𝑒𝑥𝑡)
𝑝𝑎𝑡𝑚 sin 𝜃 𝑑𝐴 = 0
𝑅𝑥 = −න
𝑆
𝜏𝑤 cos 𝜃 𝑑𝐴 − න
𝑆
𝑝 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 sin 𝜃 𝑑𝐴
Si la presión se asumiera lineal, se tendría:
𝑅𝑥 = −න
𝑆
𝜏𝑤 cos 𝜃 𝑑𝐴 −
1
2
𝑝1 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐴1 − 𝐴2
Ƽ𝑖
Conservación de la cantidad de movimiento
Por lo tanto, del equilibrio de fuerzas sobre el sólido de la boquilla surge que la
resultante de las fuerzas concentradas actuando sobre el sólido es igual y de
sentido contrario a las fuerzas ejercidas por el fluido sobre el accesorio en la
superficie S:
Entonces, ahora se plantea un volumen de control que contiene únicamente al
fluido, siguiendo lo dicho anteriormente sobre la ecuación de Integral de CM.
𝑅𝑥 = −න
𝑆
𝜏𝑤 cos 𝜃 𝑑𝐴 − න
𝑆
𝑝 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 sin 𝜃 𝑑𝐴
𝑆𝐶 ≡ 𝑆 + 𝑆𝑉
𝑆𝑉 ≡ 𝐴1 + 𝐴2
(*)
Conservación de la cantidad de movimiento
La presión atmosférica tiene resultante
nula en este VC, por lo cual puede
eliminarse del análisis si se adoptan las
presiones relativas (manométricas).
Entonces sobre la SC actúan las
fuerzas aplicadas por la boquilla al
fluido en la superficie S (que es la
superficie interna de la boquilla sin
considerar las áreas de pasaje de flujo)
y las fuerzas de presión (relativa) en las
ventanas. Sobre esta SC NO actúan las
fuerzas de los bulones, cuya resultante
total es Rx. La sumatoria de fuerzas
resulta:
Σ𝐹𝑥 = 𝑝1 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐴1 −න
𝑆
𝑝 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 sin 𝜃 𝑑𝐴 − න
𝑆
𝜏𝑤 cos 𝜃 𝑑𝐴
Conservación de la cantidad de movimiento
Sin embargo, vemos que los dos últimos términos podemos reemplazarlos por el
valor de la fuerza resultante ejercida por los bulones, por lo que se había visto
en la expresión (*)
Esto muestra que aunque sobre el VC no actúen las fuerzas concentradas sobre
el sólido, la resultante de éstas es igual a las fuerzas ejercidas por el accesorio
sobre el fluido en la superficie S. Entonces al plantear la componente en x de la
ecuación integral de cantidad de movimiento, resulta:
Σ𝐹𝑥 = 𝑝1 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐴1 −න
𝑆
𝑝 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 sin 𝜃 𝑑𝐴 − න
𝑆
𝜏𝑤 cos 𝜃 𝑑𝐴
Σ𝐹𝑥 = 𝑝1 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐴1 + 𝑅𝑥
∑𝐹𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝑥 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉𝑥 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
𝑝1 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐴1 + 𝑅𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝑥 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉𝑥 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
Conservación de la cantidad de movimiento
Generalizando, en forma vectorial, contemplando las tres componentes, e
incluyendo las fuerzas másicas, resulta:
En donde son válidas las siguientes observaciones:
• El cálculo de presión sólo tiene en cuenta las presiones relativas
(manométricas) en las ventanas. La presión del medio (atmosférica) se
cancela. Esta última afirmación puede no ser válida en casos donde la
presión del medio no sea uniforme alrededor del VC.
• Si en las ventanas se usa la presión absoluta, lo que se obtiene es una
resultante que no tiene en cuenta los efectos de la presión del medio
exterior sobre la boquilla.
• La resultante representa, en esta expresión, a todas las fuerzas de
superficie que no están contenidas en el término de presión en las ventanas
𝑝1 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐴1 + 𝑅𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝑥 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉𝑥 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
𝑅
− න
𝑆𝑉
𝑝𝑟𝑒𝑙 𝑑𝐴 + 𝑅 + න
𝑉𝐶
𝐵 𝜌 𝑑𝜐 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
Conservación de la cantidad de movimiento
• Pero es también la resultante de las fuerzas concentradas que actúan
sobre los accesorios por lo cual la expresión anterior puede utilizarse con un
volumen de control que los contenga (a los accesorios). Es válida en general
para cualquier volumen de control y es la que se utilizará en este curso.
• A modo de ejemplo se usará para resolver el mismo problema pero
utilizando un VC que contenga a la boquilla.
− න
𝑆𝑉
𝑝 𝑑𝐴 + 𝑅 + න
𝑉𝐶
𝐵 𝜌 𝑑𝜐 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
𝑅
En este VC las presiones del medio se
cancelan (como se observa en la figura), y sólo
queda el término de presiones debido a la
presión manométrica en la entrada 1. La
presión atmosférica puede eliminarse del
análisis adoptando las presiones relativas
(manométricas).
Conservación de la cantidad de movimiento
En x resulta: 𝑝1 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐴1 + 𝑅𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝑥 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉𝑥 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
Y, obviamente, ahora habría que despejar a Rx y resolver el miembro
derecho.
Entonces sobre la SC actúan las fuerzas aplicadas por los bulones y las presiones
manométricas en la ventana 1.
42
• DEFINICIÓN DE SISTEMA, PROPIEDADES 
EXTENSIVAS E INTENSIVAS.
• PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES.
• VOLUMEN DE CONTROL.
• TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.
• CONSERVACIÓN DE LA MASA.
• CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ECUACIÓN DE BERNOULLÍ.
ECUACIONES INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
Aplicando el teorema de Reynolds
al principio de conservación de energía:
tenemos:
Conservación de la energía
𝑁 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 = 𝐸 ⇒ 𝜂 =
𝑑𝑁
𝑑𝑚
=
𝑑𝐸
𝑑𝑚
= 𝑒
𝑁 = 𝐸
𝜂 = 𝑒
ሶ𝑄𝑇 − ሶ𝑊𝑇 = ቤ
𝑑𝐸
𝑑𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝑒 𝜌 𝑑𝜐
Variación de la E en 
el V.C.
Flujos de E de entrada y salida 
a través de las ventanas
ቤ
𝑑𝐸
𝑑𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑒 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝜂 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
Aplicando el teorema de Reynolds
al principio de conservación de energía:
tenemos:
Conservación de la energía
𝑁 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 = 𝐸 ⇒ 𝜂 =
𝑑𝑁
𝑑𝑚
=
𝑑𝐸
𝑑𝑚
= 𝑒
𝑁 = 𝐸
𝜂 = 𝑒
ሶ𝑄𝑇 − ሶ𝑊𝑇 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑒 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ሶ𝑄𝑇 − ሶ𝑊𝑇 = ቤ
𝑑𝐸
𝑑𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑆𝑖𝑠𝑡
𝑒 𝜌 𝑑𝜐
Variación de la E en 
el VC.
Flujos de E de entrada y salida 
a través de las ventanas
ቤ
𝑑𝑁
𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑠
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜂 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝜂 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
Conservación de la energía
▪ La energía total específica es la suma de las diferentes energías específicas 
involucradas en el proceso. 
▪ En nuestro caso consideraremos la energía interna específica, la energía 
cinética específica y la energía potencial gravitatoria específica: 
𝑒 = Energía total específica = u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧
u = 𝑐𝑣 𝑇
Temperatura
Calor específico a volumen 
constante
Energía interna específica
Gases ideales:
Conservación de la energía
𝑑𝑊
𝑑𝑡
> 0
ሶ𝑄𝑇 − ሶ𝑊𝑇 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
−
𝑑𝑊
𝑑𝑡
▪ Si analizamos el miembro izquierdo de la ecuación integral de conservación, 
hay una convención de signos a tener en cuenta:
Fluido en el 
VC
𝑑𝑄
𝑑𝑡
> 0𝑑𝑊
𝑑𝑡
< 0
𝑑𝑄
𝑑𝑡
< 0
▪ El calor intercambiado por unidad de tiempo puede debersea fenómenos de
conducción, convección o radiación, pero aquí se hará distinción y
simplemente se indicará como :
▪ Si se ignora el trabajo eléctrico y otras formas equivalentes, se pueden
considerar tres tipos de trabajo realizados sobre/por el fluido dentro del
volumen de control:
▪ Trabajo en el eje: Se transmite por medio de un eje rotante, tal como el de una bomba o una
turbina. Aquí representa el trabajo intercambiado con cualquier parte móvil de una máquina.
▪ Trabajo realizado por los esfuerzos viscosos: Como por ejemplo el trabajo de esfuerzos
cortantes en el fluido que actúan sobre las fronteras en contacto con el “eje”. Este ya se
considera incluido en el trabajo en el eje. También está el trabajo que realizan las tensiones
viscosas sobre la superficie de control donde hay flujo. Este termino suele desconsiderarse.
▪ Trabajo realizado por la presión (trabajo de flujo): Se realiza por la presión del fluido que
actúa sobre las fronteras del volumen de control donde hay flujo (ventanas).
Conservación de la energía
ሶ𝑊𝑇 = ሶ𝑊 + න
𝑆𝑉
𝑝 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ሶ𝑄 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
Trabajo de flujo por 
unidad de tiempo
Otros trabajos x unidad de tpo
Potencia total (Trabajo 
total x unidad de tiempo)
Entonces, se reemplaza la última expresión:
en la expresión que se tenía para la el principio de conservación de la energía:
obteniendo…
Y, observando que el término con la presión tiene la misma forma que el término
de flujo de energía a través de las ventanas, ambos términos pueden presentarse
agrupados.
Conservación de la energía
ሶ𝑊𝑇 = ሶ𝑊 + න
𝑆𝑉
𝑝 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ሶ𝑄 − ሶ𝑊𝑇 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑒 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 − න
𝑆𝑉
𝑝 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑒 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑒 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴 + න
𝑆𝑉
𝑝 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
▪ Finalmente resulta:
▪ Recordando que:
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑒 +
𝑝
𝜌
𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 +
𝑝
𝜌
𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ℎ = 𝑐𝑝 𝑇 = u +
𝑝
𝜌
Calor específico a 
presión constante
Entalpía específica
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
Conservación de la energía
Resumen: Ecuaciones integrales de conservación. 
▪ Masa:
▪ Cantidad de Movimiento:
▪ Energía: 
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑒 +
𝑝
𝜌
𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 +
𝑝
𝜌
𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
ሶ𝑄 − ሶ𝑊 =
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
u +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑉 ⋅ 𝑑𝐴
− න
𝑆𝑉
𝑝 𝑑𝐴 + 𝑅 + න
𝑉𝐶
−∇𝑈𝑚 𝑑𝜐 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝑉 𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌 𝑑𝜐 + න
𝑆𝑉
𝜌 𝑉𝑟 ⋅ 𝑑𝐴 = 0
Factores de corrección de flujo de cantidad de movimiento 
y de energía cinética.
▪ Ver en “Mecánica de Fluidos” de F. White Capítulo 3. También está 
disponible en el aula virtual en el Campus y Video en el OneDrive de Office 
365 de UTN FRGP 
52
• DEFINICIÓN DE SISTEMA, PROPIEDADES 
EXTENSIVAS E INTENSIVAS.
• PRINCIPIOS FÍSICOS FUNDAMENTALES.
• VOLUMEN DE CONTROL.
• TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.
• CONSERVACIÓN DE LA MASA.
• CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
• ECUACIÓN DE BERNOULLÍ.
ECUACIONES INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
Ecuación de Energía en un tubo de corriente:
▪ Si se aplica la ecuación integral de conservación de la energía mecánica a un
tubo de flujo donde no consideramos las variaciones de las propiedades en
la sección transversal (flujo uniforme), podemos obtener la famosa
ecuación de Bernoulli.
▪ Ver apunte sobre ecuación de Bernoulli en el campus y Video en el
OneDrive de Office 365 de UTN FRGP .
Ecuación de Bernoulli y Ecuación de Energía:
▪ Entonces, si la ecuación de energía se aplica para un tubo de corriente con
flujo unidimensional (uniforme), estacionario (permanente) e incompre-
sible obtenemos la ecuación generalizada de Bernoulli.
▪ Si además asumimos que no hay pérdidas por fricción, es decir, el flujo es
no viscoso y además no existe transferencia de calor ni trabajo entregado o
recibido, lo que obtenemos es la ecuación de Bernoulli.
▪ Recordar que aquí se adoptó la hipótesis de flujo uniforme o
unidimensional (lo cual veremos que implica que el flujo es además
irrotacional)
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2 + 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2
▪ Entonces la ecuación de Bernoulli puede entenderse como un balance de
energía mecánica:
𝑝
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 = Constante
𝑝1
𝜌
+
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑝2
𝜌
+
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2 + 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 + 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Bernoulli generalizada: Surge
al aplicar la ecuación de
conservación de la energía a un
tubo de corriente con flujo,
incompresible, permanente y
uniforme.
Bernoulli: Surge al no consi-
derar pérdidas viscosas (flujo no
viscoso), intercambio de calor y
trabajo en la anterior. Se aplica
directamente sobre las seccio-
nes, en casos donde se asume
flujo uniforme (o unidimensional)
Ecuación de Bernoulli y Ecuación de Energía:
Esta Constante es la misma para
todas las líneas de corriente.
FLUJO UNIFORME
Estas pérdidas están asociadas a cambios de energía interna
(Temperatura) del fluido y al calor intercambiado con el medio.
Nota: Si el volumen de control que se considera móvil o se deforma, las velocidades deben ser las relativas a las
ventanas del volumen de control (Vr)
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4: Sistema
	Diapositiva 5: Propriedades intensivas y extensivas
	Diapositiva 6: Propriedades intensivas y extensivas
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8: Principios fundamentales de conservación.
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10: Planteo de los principios de conservación en volúmenes de control
	Diapositiva 11: Volumen de control
	Diapositiva 12: Observación:
	Diapositiva 13
	Diapositiva 14: Teorema del Transporte de Reynolds
	Diapositiva 15: Teorema del Transporte de Reynolds
	Diapositiva 16: Teorema del Transporte de Reynolds
	Diapositiva 17: Teorema del Transporte de Reynolds
	Diapositiva 18: Teorema del Transporte de Reynolds
	Diapositiva 19: Teorema del Transporte de Reynolds
	Diapositiva 20: Teorema del Transporte de Reynolds
	Diapositiva 21: Teorema del Transporte de Reynolds
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23: Conservación de la masa
	Diapositiva 24: Conservación de la masa
	Diapositiva 25: Hipótesis simplificativas
	Diapositiva 26: Hipótesis simplificativas
	Diapositiva 27: Hipótesis simplificativas
	Diapositiva 28
	Diapositiva 29: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 30: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 31: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 32: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 33: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 34: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 35: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 36: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 37: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 38: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 39: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 40: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 41: Conservación de la cantidad de movimiento
	Diapositiva 42
	Diapositiva 43: Conservación de la energía
	Diapositiva 44: Conservación de la energía
	Diapositiva 45: Conservación de la energía
	Diapositiva 46: Conservación de la energía
	Diapositiva 47: Conservación de la energía
	Diapositiva 48: Conservación de la energía
	Diapositiva 49: Conservación de la energía
	Diapositiva 50: Resumen: Ecuaciones integrales de conservación. 
	Diapositiva 51: Factores de corrección de flujo de cantidad de movimiento y de energía cinética.
	Diapositiva 52
	Diapositiva 53: Ecuación de Energía en un tubo de corriente:
	Diapositiva54: Ecuación de Bernoulli y Ecuación de Energía:
	Diapositiva 55: Ecuación de Bernoulli y Ecuación de Energía: