Nociones básicas - Geometría - Romi Scuderi

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GEOMETRÍA
Marca con una cruz la opción correcta:
1. Para separar un plano en dos semiplanos se debe trazar:
a) un segmento b) una semirrecta c) una recta 2. Cuando el reloj indica las cuatro
y cuarto, las agujas forman un ángulo: a) agudo b) recto c) obtuso 3. Las rectas
perpendiculares determinan cuatro ángulos:
a) agudos b) rectos c) cóncavos 4. La suma de dos ángulos agudos da por
resultado un ángulo obtuso: a) a veces b) siempre c) nunca
Lee el relato y resuelve:
GRANDEZA Por
SANTIAGO
En el principio fue el
punto…
… Su
compañera
… y con ellos su prole
Y creciendo
se hizo recta
Y
comenzaron a crecer para adueñarse
del plano
Y cuando lo hubieron con quistado
todo, a alguien se le ocurrió observar
esa
Y aún más…
grandeza desde otra pers
pectiva, más lejana,
más
real…
Y al final, lo único
que se pudo ver fue
un punto
Igual
que al
principio, igual que al final…
1. ¿Qué elementos geométricos se nombran? ________________________________________________________
2. Escribe ejemplos de objetos cotidianos que representen a cada elemento del punto anterior
_________________________________________________________________________________________________________
3. ¿Cuántos puntos hay en una recta? ________________________________________________________________
4. ¿Cuántos puntos hay en un plano? _________________________________________________________________
5. ¿Cuántas rectas pasan por un punto? ______________________________________________________________
6. ¿Cuántas rectas pasan por dos puntos? ____________________________________________________________
Nociones básicas
Así como la aritmética se basa en elementos fundamentales que son los números, de los cuales
se estudian propiedades y a los que se les aplican operaciones que transforman unos en otros,
así también la Geometría se basa en ciertos entes fundamentales y primitivos que son: el pun
to, la recta y el plano.
EL PUNTO: tiene posición en el espacio. Es la unidad indivisible de la geometría. No tiene di
mensiones (largo, ancho, alto). Se designa con una letra de imprenta minúscula.
a b
c
LA RECTA: es un conjunto infinito de puntos alineados. Por ser infinito no posee principio ni
fin. La recta tiene una sola dimensión: la longitud. Se la denomina con letra imprenta mayús
cula.
R
R se
lee recta R
S
S se
lee recta S
a b
ab se lee recta ab
EL PLANO: conjunto infinito de puntos (no necesariamente alineados), que no tiene fronteras.
Tiene dos dimensiones: el ancho y el largo. Se lo denomina con una letra griega.
α
ESPACIO GEOMÉTRICO: es el conjunto de todos los puntos. Tanto las rectas como los planos
son subconjuntos del espacio geométrico.
Hay ciertas propiedades sencillas que deben satisfacer los puntos, las rectas y los planos
geométricos, que surgen de la observación y la experiencia y que se las acepta como verdade
ras.
Estas propiedades aceptadas se llaman postulados o axiomas.
Postulados característicos:
* Existen infinitos puntos, rectas y planos.
* Por un punto pasan infinitas rectas.
P
a
Haz de rectas
aЄ P
P⊂ haz
El conjunto de rectas que pasa por un punto se llama haz de recta.
* Por una recta pasan infinitos planos.
La recta por la que pasan los planos está incluida en cada uno de ellos.
ε
R
α
R⊂ α , ��,
Ω
=����2����
٠����=����2 ����=����2
��=
����
=����2
* Dos puntos determinan una recta a la cual pertenecen.
a b
T
Este postulado autoriza a que la recta T que pasa por los puntos a y b, se llame también
recta ab.
Como consecuencia de este postulado, dos rectas que tienen dos puntos comunes son
coincidentes.
* A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no perte
necen a ella.
a b c d S
Ejemplo: a Є S
b Є S
o m
m Є S o Є S
* Tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene.
b
����=
����2
c
a
����=
����2
Ω
a, b y c Є Ω
a, b y c ≡ Ω
determina
��
��
=
��
��2
��
��
=
��
��2
De lo anteriormente expuesto, diremos que:
I) Una recta y un punto exterior a ella, determinan un plano al cual pertenecen.
β
L
a
b
c
c Є β L⊂ β
II) Dos rectas al cortarse determinan un plano que las contiene.
a
b
c
P
R⊂ δ
P⊂ δ
R ∩ P = b
Rδ
Semirrecta y segmento
R∪ P = δ
Postulado de ordenación de los puntos de una recta: Los puntos de una recta pueden ordenar
se de dos modos distintos, que se llaman ordenamientos naturales.
Así por ejemplo, en la recta R, los ordenamientos naturales están indicados por las dos flechas.
R a b b
c d e
Ordenamientos opuestos
Semirrecta:
Si en la recta S se considera un punto cualquiera, este punto divide a la recta en dos partes, en
dos subconjuntos no vacíos, cada uno de los cuales se llama semirrecta de origen o.
a o b
S
Para distinguir cada una de las semirrecta opuestas de origen o, se considera otro punto en
cada una de ellas.
oa : se lee semirrecta de origen o que contiene al punto a.
ob : se lee semirrecta de origen o que contiene al punto b.
Segmento:
Si en la recta M se consideran dos puntos cualesquiera, el trozo de recta formado por esos dos
puntos y todos los puntos comprendidos entre ellos, se llama segmento pq. Podemos conside
rarlo como la intersección de dos semirrectas.
M
p q
pq : se lee segmento pq
pq ∩ qp = pq (segmento)
Distancia entre dos puntos:
Se llama distancia entre dos puntos al segmento que tiene por extremo esos dos puntos.
q
a
bp
Semiplano:
Conjunto infinito de puntos del plano que comienza en una recta del mismo y no tiene fronte
ra hacia el otro lado.
T
b
a β
Spl (T; a) : se lee semiplano de borde T que
contiene al punto a. Spl (T, b) : se lee semiplano
de borde T que contiene al punto b.
Postulados o axiomas de separación:
1) Postulado de división del plano:
a) Todo punto del plano, pertenece a uno de ambos semiplanos o a la recta que lo divide.
F
a
b
c
π
a ϵ Spl (F; a) b ϵ F
c ϵ Spl (F; c)
b) Dos puntos pertenecientes al mismo semiplano determina un segmento que no corta a la
recta de división.
a
b
D α
D ∩ ab = {0}
c) Dos puntos pertenecientes a distintos semiplanos determinan un segmento que corta a
la recta de división en un único punto.
P
a
n
b
P ∩ ab = {n}
λ
2) Postulado de la división del espacio
Todo plano separa al espacio en dos regiones convexas llamadas semiespacio. a)
Todo punto del espacio pertenece a uno de los dos semiespacio o al plano de división.
ab ϵ α
bc α
a ϵ a un semiespacio c ϵ
al otro semiespacio
b) Dos puntos pertenecientes al mismo semiespacio determinan un segmento que no corta
al plano de división.
b
δ
a
δ∩ ab = {0}
c) Dos puntos pertenecientes a distintos semiespacio determinan un segmento que corta al
plano de división en un único punto
Posiciones relativas de dos rectas:
a
mσ ∩ ab = {m} σ
b
Rectas Coplanares: Son las rectas que pertenecen a un mismo plano.
Y pueden ser:
1) Secantes: cuando se cortan en un punto
R S
a
P
R ∩ S = {a}
R S son secantes oblicuas
Determinan pares de ángulos congruentes
L
e
P ∩ L = {e}
P L son secantes perpendiculares
Determinan 4 de ángulos
congruentes
2) Paralelas: nunca se cortan
M
G
M ∩ G = {0}
M / / G
3) Coincidentes: tienen todos los puntos en común
A FA ∩ F = A ó F
Rectas No Coplanares o Alabeadas: Son las rectas que no pertenecen a un mismo plano. Un
ejemplo simple de rectas alabeadas es el par de rectas que recorren los bordes opuestos de un
tetraedro regular. ..
a b
ab ∩ cd = {0}
d
c
Práctica
1) Dibuja y nombra:
ab ∩
cd son no coplanares o alabeadas
a) Un segmento incluido en una recta.
b) Un plano y un semiplano.
c) Un par de semirrectas opuestas. 2)
Traza utilizando regla y escuadra:
d) Un par de segmentos consecutivos ali
neados.
e) Cinco segmentos consecutivos no ali
neados.
a) A // B, donde p ϵ B b) R⏊ Q, donde m ϵ R
A
m
Q
p
3) Dada la siguiente figura:
s b
r
c
o
a) Halla gráficamente el resul
tado de las operaciones. ar∪
rs =
sr∩ sb =
M
a e
bs∩ ra = ar∪ bs =
b) Observa y responde
I) ¿Cuántos puntos pertenecen a
la recta M? II) ¿Cuántos puntos
no pertenecen a ella?
as∩ rb = ar∩rb =
III) ¿cuántas rectas se pueden trazar que pasen por los puntos o y c simultáneamente?
Pruébalos.
IV) ¿Cuántas rectas se pueden trazar por el punto e?
N
J
4)
Observa la figura u nombra:
P
a
a) Tres rectas.
b
b) Tres puntos no alineados.
c) Un par de semirrectas opuestas.
d) Un segmento incluido en J
R
f
e) Dos segmentos consecutivos alineados.
d
M
c
f) Un plano.
g) Dos semiplanos.
h) Tres puntos alineados.
L
S
g
h
i) Tres puntos pertenecientes al mismo plano.
e
5) Observa la figura e indica si son verdaderas o falsas las proposiciones.
Corrige las falsas
R ϵ α bp ϵ S
m ϵ α S⊂ α
a ϵ S p⊂ α
b⊂ S bp ϵ α
q ϵ α q ϵ R α
α
6) Completa el
siguiente cuadro
de inclusión:
R S
a
q
p
b
m
Spl(B,d) α dâg bâf∪
ac
b
Dâg
C
ad
A
α
d
b a c
f g
C B
7) Observa y analiza la recta A, que constituye el universo con el que vas a trabajar:
A r a h i
a) Completa el caracol grande realizando las sucesivas operaciones. b)
Completa el caracol chico con ϵ, ϵ,⊂ o⊂, según lo deduzcas de la recta A.
hi
{h}��
∪
hi A
=����2
∩ hi ∩ rh
∪ hi hi
ha
∪
–
rh
∩
ai
∪
ai
rh
∪
r
hr
∩ {a}
8) Traza:
ri
∩
=����2
a) Una recta R paralela a P que pasa por el punto m.
b) La mediatriz de un segmento de 7,5 cm. c) Tres
segmentos alineados no consecutivos. d) Tres
segmentos no alineados consecutivos.