Probabilidades

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1 
PROBABILIDAD 
Como no podemos predecir el futuro con total 
certidumbre, encaramos la incertidumbre utilizando la 
Teoría de Probabilidad. 
¿Y qué es la probabilidad? 
La posibilidad de que algo suceda. 
2 2 2 
El cálculo de las probabilidades es el 
área que se ocupa del estudio de los 
fenómenos o experimentos aleatorios. 
Experimento aleatorio: acción cuya observación repetida en condiciones 
constantes no produce siempre el mismo resultado. 
 
Ejemplos: 
• Experimento 1: lanzar un dado resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6 
 
• Experimento 2: lanzar dos veces una moneda resultados posibles: cara, ceca 
 
 
Espacio Muestral (S): son todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. 
 
Punto Muestral: cada uno de los posibles resultados. 
 
Evento o Suceso: subconjunto del espacio muestral. 
 
2 
3 3 3 
 Para el experimento “lanzar un dado” 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
DIAGRAMA DE ÁRBOL 
En él se observan todos los posibles 
resultados. 
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Sea el evento o suceso: 
 
A: “que salga par” entonces A= {2, 4, 6} 
 
B: “mayor a 4” entonces B ={5, 6 } 
 
 Para el experimento “lanzar dos veces una moneda” 
 C2 
C1 
 X2 
 
 
 C2 
X1 
 X2 
 
S= {CC, CX, XC, XX} 
 
Sea el suceso: 
 
C: “por lo menos una cara” entonces C= {CC, CX, XC} 
 
D: “una sola ceca (cruz)” entonces D = {CX, XC} 
 
3 
1er lanzamiento 2do lanzamiento 
4 4 
Ejercicio 1 
 
Sea el experimento “extraer tres cartas de un mazo de cartas españolas” (40 cartas) 
 
1. Dibujar un diagrama de árbol (utilice solo las posibilidades “es espada” o “no es espada” como E y ) 
2. Determine todos los puntos muestrales para los sucesos de que salgan: 
 
• solamente dos espadas. 
• como máximo dos espadas. 
• por lo menos dos espadas. 
 
E
E : se lee “complemento de E”, es el conjunto de todos los resultados en S que no están 
contenidos en E. 
5 5 
Ejercicio 2 
 
Se dispone de dos urnas, U1 y U2, que contienen las siguientes bolillas: 
 
U1: 5 rojas, 3 azules y 2 blancas 
U2: 6 rojas y 4 blancas 
 
 
El experimento aleatorio consiste en arrojar un dado y si se obtiene 5 ó 6 se extrae una bolilla de la 
U1; si en el dado se obtiene 1 ó 2 ó 3 ó 4 se extrae una bolilla de U2. 
 
 
1.Realizar un diagrama de árbol. 
 
2.Determine todos los puntos muestrales para el suceso que salga una bolilla azul. 
6 6 6 6 
Relaciones en Teoría de Conjuntos 
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Sea el evento o suceso: 
 
A: “que salga par” entonces A= {2, 4, 6} 
 
B: “mayor a 4” entonces B ={5, 6 } 
 
E: “sea impar” entonces E={1,3, 5} 
U 
A B 
6 
2 
 4 
5 
1 
 3 
 
 6
6,5,4,2


BA
BA
Unión de A con B 
Intersección de A con B 
Diagrama de Venn 
U 
A E 
6 2 
 4 
1 3 
5 
 BA
Conjuntos disjuntos 
Sucesos mutuamente excluyentes 
7 
Concepto de exclusión: se verifica que dos sucesos son 
mutuamente excluyentes, cuando la aparición de uno 
impide la aparición del otro, en una misma repetición del 
experimento aleatorio. 
Eventos exhaustivos: abarca todos los resultados posibles 
SAAA k  ....21
8 8 
U 
A B 
6 
2 
 4 
5 
1 
 3 
Otras relaciones de conjuntos 
 
 5,4,3,2,1
3,1


BA
BA
 
 4,3,2,1
5,3,1


B
A
9 9 
Ejercicio 3 
 
En una escuela primaria hay 10 alumnos con dificultades visuales, 8 tienen audición imperfecta y 3 
tienen ambos problemas. A la escuela concurren 120 alumnos. 
 
• Dibujar un diagrama de Venn 
 
 
 
 
Ejercicio 4 
Si se lanzan dos dados y se observa la suma de los puntos, ¿cuál será el espacio muestral? 
10 10 10 
La probabilidad de un evento puede obtenerse de tres formas: 
 
1. Empírica o experimental 
2. Teórica 
3. Subjetiva 
11 11 11 
Probabilidad empírica o experimental 
Refiere a la frecuencia relativa con la que ocurre un evento. 
n° caras 
2C 
1C 
1C 
2C 
1C 
0C 
1C 
1C 
1C 
2C 
Ejemplo: el experimento consiste en lanzar 10 veces 
dos monedas y se registra la cantidad de caras. 
Supongamos que se observaron los siguientes 
resultados: 
Pero si las monedas se lanzan 
200 veces, es posible que los 
resultados fuesen los siguientes: 
resultados frecuencias frec. relativas 
x fi fr 
0 1 0,1 
1 6 0,6 
2 3 0,3 
10 
resultados frecuencias frec. relativas 
x fi fr 
0 43 0,215 
1 104 0,52 
2 53 0,265 
200 
A medida que la cantidad de lanzamientos se 
incrementa, la fr de 0C se aproxima ¼ ó 25%; la 
de 1C a ½ ó 50% y la de 2C ¼ ó 25%. 
12 12 12 
Ley de los grandes números: A medida que se incrementa el número de ensayos experimentales, n, 
la frecuencia relativa, fr, tiende a la probabilidad teórica P(A) 
resultados Prob. teórica 
x P(C) 
0 1/4 
1 1/2 
2 1/4 
Para practicar: 
• ¿Qué valores tomaría x si se lanzara 3 veces la moneda? 
• ¿ Cómo sería el diagrama de árbol? 
Probabilidad teórica 
La probabilidad de que ocurra un evento A es: 
posiblescasos
favorablescasos
AP )(
Donde todos los resultados 
tienen la misma posibilidad 
de ocurrir (equiprobables). 
Probabilidad Subjetiva 
La probabilidad se basa únicamente 
en el juicio personal. 
13 
• Para cualquier evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 
• P(S) = 1 
 
• Si A1, A2,…son sucesos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la unión es igual a la 
suma de sus probabilidades. 
 
 
13 
Axiomas de Probabilidad 
Propiedades de probabilidad 
 
Si P(A)=0 suceso imposible 
Si P(A)=1 suceso cierto 
0B)P(Aentoncess,excluyentemutuamentesucesossonByASi
)AP(1P(A)


14 14 
U 
A B 
6 
2 
 4 
5 
1 
 3 
Volvamos al ejemplo del dado 
A: “que salga par” entonces A= {2, 4, 6} 
 
B: “mayor a 4” entonces B ={5, 6 } 
Regla de la Suma o Adición 
15 15 
La Regla de la Suma 
 
Ejemplo: ¿Qué probabilidad hay de seleccionar una flor al azar con un tallo verde (V) o una flor lila (L)? 
De acuerdo a la Regla de la Suma 
V L 
5 
3 
4 
2 
Vemos que asociamos “o” con la operación de la suma. 
U 
16 16 16 
Ā

U 
A B 
E4 
E6 
E1 
 
E3 
 E5 
 E7 
E2 
 E8 
17 17 
18 18 
Ejercicio 5: 
 
Volviendo al ejemplo de las flores, 
 
 
Calcular ahora la probabilidad de que al seleccionar una flor aleatoriamente, esta tenga 
 
a) Tallo verde o flor blanca. 
 
b) Tallo amarillo o flor lila. 
 
c) Dibujar el diagrama de Venn en cada caso. 
19 19 
Regla de la Multiplicación 
Si ahora se seleccionan dos flores sin reemplazo, 
¿cuál es la probabilidad de que la primera tenga tallo 
verde y la segunda tallo amarillo? (sin tener en cuenta 
el color de la flor). 
Fue necesario ajustar la probabilidad 
del segundo suceso, dado que el 
primer suceso ya ocurrió, y modificó el 
espacio muestral. 
20 20 
Probabilidad Condicional 
 
 Cuando la probabilidad del segundo suceso 
B debe tener en cuenta que el primer 
suceso A ya ocurrió, lo expresamos con la 
siguiente notación: 
P(B/A) que se lee “Probabilidad de B dado A” 
y representa la probabilidad de que un suceso 
ocurra después que el suceso A ya ocurrió. 
Si A y B son sucesos independientes 
Regla de la Multiplicación o Producto 
Vemos que asociamos “y” con 
la operación del producto. 
Concepto de independencia: Dos sucesos son 
independientes cuando la ocurrencia de uno no 
modifica la ocurrencia del otro en dos repeticiones 
sucesivas del experimento. 
 
)()()()()(
)()()()(
B
APBP
A
BPAPBAP
B
APBP
A
BPAPByAP


P(B)P(A)B)yP(A
entonces,
P(A)P(A/B)oP(B)P(B/A)


21 21 
22 22 
Combinación de las reglas de probabilidad 
Ejemplo 1: de una caja que contiene tres fichas rojas y dos blancas, se extraen dos fichas sin 
reemplazo. 
 
1) Realizar un diagrama de árbol que muestre una primera extracción y luego la segunda.2) Calcular la probabilidad de que: 
 
a) ambas fichas sean blancas. 
b) sea una de cada color. 
c) por lo menos una sea blanca. 
23 
R2 
R1 
B1 
B2 
R2 
B2 
1era extracción 2da extracción 
b) P(una de cada color) = P(R1 y B2) o P(B1 y R2) 
Prob.Condicional 
Observe que: 
• Se parte de un punto en común. 
• Sobre las líneas escribo las probabilidades de cada resultado. 
• Sumando las probabilidades de los resultados posibles da siempre 1. 
20
3
4
1
5
2
)()()(
1
2
121


B
B
PBPByBP
a) 
x Probabilidades 
B1B2 
R1B2 
B1R2 
R1R2 
24 
Entonces el espacio muestral será: 
 
 
S ={R1R2 ; R1B2 ; B1R2; B1B2 } son todos los resultados posibles, y entre ellos son mutuamente 
excluyentes (ocurre uno u otro pero no pueden ocurrir ambos a la vez). 
20
2
4
1
5
2
20
6
4
3
5
2
20
6
4
2
5
3
20
6
4
2
5
3




  1)(xP
Nótese que la suma de las probabilidades 
correspondientes a todos los elementos del 
espacio muestral suman 1. 
25 
Probabilidades con Tablas de clasificación 
Ejemplo 2: Una empresa planea probar un nuevo producto. Su inserción depende de dos factores: la zona 
y la densidad poblacional. Se registra la cantidad de negocios que lo comercializan. 
Densidad de población 
Zona Urbana (U) Rural (R) Total 
Este (E) 25 50 75 
Oeste (O) 20 30 50 
Total 45 80 125 
a) Si se elige al azar un comercio de prueba, ¿cuál 
es la probabilidad de que esté, 
i) En el Este? 
ii) En una densidad urbana? 
iii) En una densidad rural del Oeste? 
iv) En el Este o en densidad urbana? 
 
b) Si está en el Este, sea una zona urbana? 
c) Son los sucesos “densidad de población” y 
“zona” independientes? 
26 
Densidad de población 
Zona Urbana (U) Rural (R) Total 
Este (E) 25 50 75 
Oeste (O) 20 30 50 
Total 45 80 125 
a) i) ¿Prob. de que esté en el Este? 
125
75
)( EP
ii) ¿En una zona urbana? 
125
45
)( UPiii) ¿En una zona rural del Oeste? 
125
30
)( OyRP
iv) ¿Prob de que el comercio esté en el Este o en zona urbana? 
125
95
125
25
125
45
125
75
)(
)()()()(


UEP
UyEPUPEPUoEP
27 
b) ¿Prob de que si está en el Este, sea una zona urbana? 
125
75
125
25
75
25
)(
)(
)/(


EP
EyUP
EUP • Lo que se está preguntando aquí es una probabilidad 
condicional. 
• Su cálculo surge de despejar dicha probabilidad desde la 
Regla de la Multiplicación o directamente observando la tabla. 
• Nótese que ahora el espacio muestral ya no son los 125 
comercios, sino que se limita a los comercios “del Este”. 
• En la probabilidad condicional se dispone de 
cierta información previa. 
• Aquí, ya se conoce que el comercio seleccionado 
es de la zona Este. 
Densidad de población 
Zona Urbana (U) Rural (R) Total 
Este (E) 25 50 75 
Oeste (O) 20 30 50 
Total 45 80 125 
28 
c) ¿Son los sucesos “densidad de población” y “zona” independientes? 
Densidad de población 
Zona Urbana (U) Rural (R) Total 
Este (E) 25 50 75 
Oeste (O) 20 30 50 
Total 45 80 125 
Si dos sucesos son independientes, 
)()/( UPEUP 
Entonces la Regla del Producto queda: 
Puesto que no existe una 
condición previa que limite 
el espacio muestral. 
 
)()()( UPEPUyEP 
)()/( UPEUP 
36,03,0
125
45
75
25



216,02,0
125
45
125
75
125
25
)()()(


 UPEPUyEP
Demostración de independencia 
Como no se verifica la igualdad, queda 
demostrado que a los sucesos “zona” y 
“densidad de población” no se los puede tratar 
como sucesos independientes. 
o 
29 
Conclusión: La cantidad de negocios que comercializan el producto en las diferentes zonas depende de la 
densidad poblacional. 
¿Pero de qué manera son dependientes? 
Se observa que tanto en la zona Este como en el Oeste, el 
producto tiene mejor inserción para densidades poblacionales 
rurales. 
0 
10 
20 
30 
40 
50 
60 
Urbana (U) Rural (R) 
Inserción del producto según densidad poblacional 
Este (E) 
Oeste (O) 
0 
10 
20 
30 
40 
50 
60 
Este (E) Oeste (O) 
Inserción del producto según densidad poblacional 
Urbana (U) 
Rural (R) 
30 
Probabilidades con conjuntos 
Ejercicio 6. P(A)=0.5 , P(B)=0.4 y P(A y B)=0,1 . Calcular: 
A B 
0,1 
0,4 
 
0,3 
0,2 
 )()
)()
)()
)()
)()
BoAPe
BoAPd
BPc
A
BPb
B
APa
Realizar para cada caso 
un diagrama de Venn. 
Sombrear lo que 
corresponda. 
¿Son A y B sucesos independientes? 
31 
A y B no son sucesos independientes 
2,01,0
4,05,01,0
)()()(


 BAPBAP
Datos: P(A)=0.5 , P(B)=0.4 y P(A y B)=0,1 
32 
Probabilidades con diagramas de árbol 
Ejemplo 3. En una línea de producción, en promedio el 20% de todos los artículos producidos tienen 
algún defecto. Cada artículo es inspeccionado antes de ser despachado. El inspector clasifica mal un 
artículo el 10% de las veces. 
 
a) ¿Qué proporción de artículos serán clasificados como aceptables? 
b) ¿Qué porcentaje de los artículos que ya fueron despachados son realmente aceptables? 
33 
D 
D
Artículo 
Ac 
Ac
Ac
Ac 
Clasificación 
del inspector 
0,2 
0,8 
0,1 
0,9 
0,9 
0,1 
)( AcyDP
)( AcyDP
)( AcyDP
)( AcyDP
a) ¿Qué proporción de artículos serán 
clasificados como aceptables? 
donde 0,1 y 0,9 son probabilidades condicionales, las que se observan en la segunda rama 
del árbol. Aquí ya existe la condición previa de que los artículos son o no defectuosos. 
Los artículos que son clasificados como 
aceptables puede que sean defectuosos o que 
no lo sean. Siguiendo el diagrama de árbol: 
)()()( AcyDPAcyDPAcP 
74,0)(
9,08,01,02,0)(


AcP
AcP
)()()()()(
D
AcPDP
D
AcPDPAcP 
Dado que el artículo es D, 
cuál es la probabilidad de 
que sea clasificado como Ac 
Dado que el artículo es noD, 
cuál es la probabilidad de 
que sea clasificado como Ac 
Probabilidad total 
34 
b) ¿Qué porcentaje de los artículos que ya fueron despachados son realmente aceptables? 
973,0
74,0
9,08,0
)( 


Ac
DP
Esta pregunta refiere a la calidad de los artículos. 
Se supone que si los artículos fueron despachados es porque se los 
suponía no defectuosos. 
Entonces lo que se pregunta es, de los que el inspector consideró 
aceptables, ¿qué porcentaje realmente no era defectuoso? 
)()()( AcyDPAcyDPAcP 
)(
)(
)(
AcP
AcyDP
Ac
DP 
donde, 
Lo hasta aquí expuesto es el Teorema de Bayes 
Recordemos que la probabilidad 
de artículos aceptables, incluye 
más de un suceso condicionado 
(probabilidad total) 
35 
Teorema de Bayes 
36 
Pregunta de Thomas Bayes ¿Cuál es la probabilidad de 
que la bolita del segundo buzón sea negra, si la bolita 
del primer buzón salió roja? 
FIN