PARCIAL 4C

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1. a. Evaluar lim𝑛→∞ (1 +
1
𝑛2
)
𝑛
 
Solución: 
Sea 𝐿 = lim𝑛→∞ ln⁡(1 +
1
𝑛2
)
𝑛
⇒ 𝐿 = 𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (1 +
1
𝑛2
)
𝑛
⇒ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (1 +
1
𝑛2
)
𝑛
= 𝑒𝐿 
Ahora 𝐿 = lim𝑛→∞ ln⁡(1 +
1
𝑛2
)
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛ln⁡(1 +
1
𝑛2
) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
ln⁡(1+
1
𝑛2
)
1
𝑛
. 
Aplicando L´Hopital 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
1
1+
1
𝑛2
.(−
2
𝑛3
)
−
1
𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
1
1+
1
𝑛2
(
2
𝑛
) = 0, 
Por lo tanto 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (1 +
1
𝑛2
)
𝑛
= 𝑒0 = 1 
 
 
b. Determinar si la serie ∑
3𝑛+1
5𝑛−1
∞
𝑛=1 es convergente o divergente en caso de 
ser convergente hallar su suma. 
 
Solución: 
∑
3𝑛+1
5𝑛−1
∞
𝑛=1 = ∑
323𝑛−1
5𝑛−1
∞
𝑛=1 = ∑ 9(
3
5
)
𝑛−1
∞
𝑛=1 , Luego la serie es geométrica, con 
primer término 𝑎 = 9 y razón 𝑟 =
3
5
, es decir |𝑟| = |
3
5
| =
3
5
< 1 entonces es 
convergente y su suma es 𝑆 =
𝑎
1−𝑟
=
9
1−
3
5
=
9
2
5
=
45
2
 
 
 
 
 
2. Determinar si la serie ∑ (
𝑛−1
𝑛+1
)
𝑛
⁡+∞𝑛=1 es convergente o divergente en caso de ser 
convergente hallar su suma. 
Solución: 𝑎𝑛 = (
𝑛−1
𝑛+1
)
𝑛
 Consideremos el límite: 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (
𝑛−1
𝑛+1
)
𝑛
 
Sea 𝐿 = lim𝑛→∞ ln⁡(
𝑛−1
𝑛+1
)
𝑛
⇒ 𝐿 = 𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (
𝑛−1
𝑛+1
)
𝑛
⇒ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (
𝑛−1
𝑛+1
)
𝑛
= 𝑒𝐿 
Ahora 𝐿 = lim𝑛→∞ ln⁡(
𝑛−1
𝑛+1
)
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛ln (
𝑛−1
𝑛+1
) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
ln(
𝑛−1
𝑛+1
)
1
𝑛
. Aplicando L´Hopital 
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
1
𝑛−1
𝑛+1
∙
2
(𝑛+1)2
−
1
𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑛+1
𝑛−1
∙
2
(𝑛+1)2
−
1
𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
2
𝑛2−1
−
1
𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞−
2𝑛2
𝑛2−1
= −2, por lo 
tanto 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ (
𝑛−1
𝑛+1
)
𝑛
= 𝑒−2 =
1
𝑒2
 
Se concluye del criterio de divergencia de series que ∑ (
𝑛−1
𝑛+1
)
𝑛
⁡+∞𝑛=1 Diverge 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Instituto de Matemáticas 
Cursos de Servicios para Ingeniería y/o 
Facultad de Química Farmacéutica 
2016-2 
 
 CALIFICACION 
ALUMNO: SOLUCIÓN Carné: 
Asignatura: Cálculo Integral Profesor: Jorge Iván Londoño 
Parcial # 4 Valor: 25% Fecha: 22 de noviembre 
3. Analice la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de la serie 
alterna. 
∑(−1)𝑛
1
5𝑛
∞
𝑛=1
 
 
Solución: Aplicando los criterios del cociente y de la raíz para convergencia 
absoluta tenemos que 𝐿 = lim𝑛→∞ |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = lim𝑛→∞ |
(−1)𝑛+1
1
5𝑛+5
(−1)𝑛
1
5𝑛
| = lim𝑛→∞
5𝑛
5𝑛+5
= 1 y 
𝐿 = lim𝑛→∞ √|(−1)
𝑛 1
5𝑛
|
𝑛
= lim𝑛→∞
11/𝑛
51/𝑛𝑛1/𝑛
=
1
(1)(1)
= 1 
Como 𝐿 = 1 en ambos casos, entonces estos criterios no brindan información, sin 
embargo, la serie 
∑ (−1)𝑛
1
5𝑛
∞
𝑛=1 es convergente (criterio de Leibniz para series alternas). De otro lado, la 
serie de valores absolutos ∑ |(−1)𝑛
1
5𝑛
|∞𝑛=1 = ∑
1
5𝑛
∞
𝑛=1 es divergente, usando criterio de 
comparación con el límite con la serie ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 que es divergente, Por lo tanto 
∑(−1)𝑛
1
5𝑛
∞
𝑛=1
 
Es condicionalmente convergente. 
 
 
4. Encuentre el radio de convergencia, el intervalo de convergencia absoluta y el intervalo 
de convergencia de la serie 
∑(−1)𝑛
𝑥𝑛
4𝑛√𝑛
∞
𝑛=1
 
Solución: 
𝑎𝑛 = (−1)
𝑛 𝑥𝑛
4𝑛√𝑛
 Consideremos el límite 
 𝐿 = lim𝑛→+∞ √|𝑎𝑛|
𝑛
= lim𝑛→+∞ √|(−1)
𝑛 𝑥𝑛
4𝑛√𝑛
|
𝑛
=
|𝑥|
4
lim𝑛→+∞
1
𝑛1/2𝑛
=
|𝑥|
4
 
Se concluye del criterio de la raíz para convergencia absoluta que la serie 
∑ (−1)𝑛
𝑥𝑛
4𝑛√𝑛
∞
𝑛=1 converge absolutamente si y solo si 
|𝑥|
4
< 1. Por lo tanto, el radio 
de convergencia es 𝑅 = 4 
El intervalo de convergencia absoluta es (−4, 4) 
Ahora para hallar el intervalo de convergencia analizamos los extremos 
Si 𝑥 = −4 se obtiene la serie ∑
1
√𝑛
∞
𝑛=1 la cual es divergente (serie 𝑝 con 
𝑝 = 1/2 < 1) 
Si 𝑥 = 4 se obtiene la serie alterna ∑ (−1)𝑛 ⁡
1
√𝑛
∞
𝑛=1 , la cual es convergente por 
criterio de Leibnitz. 
Por lo anterior El intervalo de convergencia es (−4, 4] 
 
 
 
5. Escriba los cinco primeros términos de la expansión en una serie de Maclaurin para la 
función 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 =
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
2
 
Solución: 
Como 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+
𝑥4
4!
+⋯ luego 
⁡⁡𝑒−𝑥 = 1 + (−𝑥) +
(−𝑥)2
2!
+
(−𝑥)3
3!
+
(−𝑥)4
4!
+⋯ = 1 − 𝑥 +
𝑥2
2!
−
𝑥3
3!
+
𝑥4
4!
−⋯ Esto implica que 
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 =
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
= 1 +
𝑥2
2!
+
𝑥4
4!
+
𝑥6
6!
+⋯ = ∑
𝑥2𝑛
(2𝑛)!
∞
𝑛=0