El Interés Compuesto [Sinopsis]

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Bienvenida
En este módulo revisaremos el tema de interés compuesto
y valor futuro, concepto, fórmulas y su aplicación. De igual
manera habrá microcasos y actividades que facilitarán el
aprendizaje del tema. El interés compuesto nos ayuda a
tomar decisiones de inversión y, asimismo, es una
herramienta que coadyuva a maximizar el valor financiero
del capital de los accionistas, mediante su aplicación y
simulación en diferentes escenarios
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Objetivo El participante comprenderá el uso del interés compuesto,
en que instrumentos financieros se pueden aplicar.
Contenido del 
Bloque
1. Introducción y conceptos
2. Monto, valor acumulado o valor futuro
3. Valor presente o capital
4. La incógnita es el tiempo
Introducción y 
conceptos
De acuerdo con López (2009): El problema que presenta el interés simple es
entonces, si una persona decidiera mantener su inversión con todo e intereses,
el interés simple no es capaz de calcular el monto. Para enfrentar esta situación
(el caso de reinversión de intereses) está precisamente el interés compuesto.
Para el caso del interés compuesto se realizan los siguientes supuestos:
1. Los intereses
que se ganan
Periodo a periodo
son reinvertidos.
2. Al capital inicial
no se le retira ni se
le aumenta más
capital.
3. La tasa de
interés periodo a
periodo es
constante.
La diferencia entre el interés simple y el compuesto es que, en el interés
simple, los intereses en cualquier periodo en función del capital inicial, y
en el interés compuesto como se van capitalizando los intereses, la
cantidad sobre la cual se calculan los intereses cada vez va siendo
mayor.
4.2 Monto, valor 
acumulado o 
valor futuro.
Para calcular el monto con interés compuesto cuando se invierte a más de un
periodo, hay que considerar la reinversión de intereses. Para ilustrar el
mecanismo se utilizará el siguiente ejemplo:
Un capital de $100 se invierte a una tasa de interés anual del 20%. Si el plazo 
es de 3 años, ¿cuánto se acumulará? Como se hemos visto hasta ahora, el 
monto para el primer año es:
𝑀1 = 100(1 + 0.20) = 120
donde los intereses generados en el primer año son por $20. Para el segundo 
año, los intereses se calculan tomando como base los $120 que es el capital 
más los intereses. Los intereses en el primer periodo son:
𝐼1
= (1001(0.20) = 20
Ahora bien, el monto en el segundo periodo es:
𝑀2 = 120(1 + 0.20) = 144
donde los intereses generados en este periodo son:
𝐼2 = (120) (0.20) = 24
Finalmente, el monto del tercer periodo se calcula sobre los $144
quedando:
M3 =144(1+0.20) =172.80
donde los intereses generados en este periodo son:
𝐼3 = (144)(0.20) = 28.80
Para obtener una fórmula general para el monto se procederá de la
siguiente manera: Si se invierte un capital C a una tasa de interés a un
periodo se tendría:
𝑀1 = 𝐶 (1 + 𝑖)
Para obtener el monto en el segundo periodo se tomaría como base el 
monto del primer periodo quedando:
𝑀2 = 𝑀1 (1 + 𝑖)
Sustituyendo el monto en el primer periodo: 
𝑀2 = 𝐶 (1 + 𝑖)
2
Para el monto en el tercer periodo se tendría: 
𝑀3 = 𝑀2 (1 + 𝑖)
Sustituyendo el valor del monto en el segundo periodo:
𝑀3 = [𝐶 (1 + 𝑖)2] [1 + 𝑖) = 𝐶 (1 + 𝑖)3
Siguiendo con el proceso el monto al final de t periodos sería:
𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖) 𝑡
Donde:
M: monto, valor acumulado o valor futuro después de t periodos. 
C : capital inicial
i: tasa de interés.
t : plazo o número de periodos de inversión.
Al igual que en el interés simple, debe existir una correspondencia
entre la convertibilidad de la tasa y el tiempo manejado, si la
tasa es mensual el tiempo se maneja en meses, si la tasa es anual el
tiempo se maneja en años, etc.
Ejemplo 1
Se depositan en el banco $3,000 a un plazo de 3 años donde se ofrece
una tasa semestral del 15%. Encontrar el monto o valor futuro al cabo de
los 3 años utilizando interés compuesto.
En este ejemplo como la tasa de interés es semestral y el plazo de
inversión es por 3 años, entonces el número de periodos que se invierte
el capital es de 6. Utilizando la ecuación 4.1 donde C=$3,000, i=0.15 y
t= 6.
𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖) 6 = 3,000(1.15)6 = 6,939.18
Si comparamos este resultado con el obtenido en el ejemplo 2.3 donde
se invertía a interés simple (el resultado con interés simple fue $5,700),
es fácil notar como a medida que se reinvierten los intereses la cantidad
generada será mayor.
Se depositan 54,500 a un plazo de 3 años y cinco meses a una tasa de interés del
2% mensual. Encontrar el monto con:
a) interés simple.
Para este caso como la tasa está mensual, el tiempo deberá ser manejado en
meses. 3 años equivalen a 36 meses por lo que 3 años y 5 meses equivalen a 41
meses. Utilizando interés simple se tiene:
𝑀 = 4,500[1 + 0.021 41 ] = 8,190
b) interés compuesto.
Utilizando interés compuesto se tiene:
𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑡 = 4,500(1.02)41 = 10,134.90
La diferencia entre utilizar interés compuesto y simple es en este caso de
$1,944.90. Esto se debe, como ya se mencionó anteriormente a que en interés
compuesto hay reinversión de intereses. Los $1,944.90 se pueden ver como los
intereses que se generan a partir de los mismos intereses.
Ejemplo 2
4.3 Valor presente 
o capital.
“
En los ejemplos anteriores hemos trabajado con problemas donde la
incógnita es el monto; en esta sección nos enfocaremos a calcular el
valor presente de una cantidad que ha de recibirse en el futuro, o
bien, el capital que ha de invertirse el día de hoy para lograr acumular
cierta cantidad en el futuro.
Se desean tener $170,000 para comprar un terreno dentro de 3 años. Si la tasa
de interés a la que se puede invertir el dinero es del 20% anual, ¿qué cantidad
deberá ser depositada hoy para acumular los $170,000?
Para este ejemplo se da como información el monto o valor futuro, y se
pregunta el capital o valor presente. Despejando de la ecuación de monto para
interés compuesto se tiene:
𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖)𝑡
Entonces:
𝐶 =
𝑀
(1 + 𝑖)𝑡
= 𝑀(1 + 𝑖)−𝑡
Sustituyendo la información del ejemplo:
𝐶 =
170000
(1 + 0.2)3
= 98,379.63
Ejemplo 1
En el interés compuesto, al igual que en el interés simple, si se quiere 
acumular una cantidad se debe multiplicar por un factor, que en este 
caso es; (1+i)t. mientras que si se desea obtener un valor presente se 
debe dividir entre dicho factor. De forma general para obtener un valor 
presente se tiene:
𝐶 =
𝑀
(1 + 𝑖)𝑡
= 𝑀(1 + 𝑖)−𝑡
Donde:
M: monto, valor acumulado o valor futuro después de t periodos. 
C: Capital inicial
i : tasa de interés.
t : plazo o número de periodos de inversión.
Recordar que dividir entre (1+i)t es lo mismo que multiplicar por (1+i)-t
por lo que pueden ser utilizadas indistintamente cualquiera de las dos.
Una empresa considera que sus ganancias dentro de 5 años
serán de 3 millones pesos, si la tasa de interés contemplada
es del 17% semestral, ¿cuál es el valor presente de sus
ganancias?
Para obtener el valor presente basta con dividir por el
factor de interés compuesto. En este caso como la tasa es
semestral, y el plazo es por 5 años se tiene que t=10.
𝐶 =
3000000
(1.17)10
= 3000000(1.17)−10= 624,112.15
Ejemplo 2
4.4 La incógnita es el tiempo.
El problema de encontrar el tiempo cuando se conocen las demás variables en el
interés compuesto, se reduce a realizar un despeje utilizando logaritmos. Para fines
de este texto se mencionan las siguientes leyes de logaritmos:
Sean a y b dos números mayores que cero, y log cualquier tipo de logaritmo,
entonces:
Ley 1 El logaritmo de una multiplicación es equivalente a la suma de los
logaritmos. log(a* b) = log(a)+ log(b)
Ley 2 El logaritmo de un cociente puede ser expresado como la diferencia de los
logaritmos.
𝐿𝑜𝑔
𝑎
𝑏
= log 𝑎 − log(𝑏)
Ley 3 El logaritmo de un número elevado a cualquier potencia (b puede llegar a
ser negativo) es igual a la potencia multiplicada por el logaritmo del número.
Esta última regla es la que normalmente se va a utilizar en nuestros ejemplos.
Ejemplo 1
Despejar “n” de: (1.18) =0.31392503
La incógnita está nuevamenteen el exponente y además es negativa.
Obteniendo el logaritmo natural:
𝐼𝑛(1.18)−𝑛= 𝑙𝑛(0.31392503)
Utilizando la ley 3 de logaritmos:
(−𝑛)𝐼𝑛(1.18) = 𝐼𝑛(0.31392503)
Calculando logaritmos:
−𝑛(0.16551444) = −1.1586011
Nótese que el logaritmo de 0.3139 fue negativo porque éste es menor
que Despejando”n”
−𝑛 = −7 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 7
Ejemplo 2
Una inversión de $32,765 a una tasa del 1.3% mensual pro- duce un
monto de $36,331.7. ¿De cuánto tiempo fue la inversión? Planteando la
ecuación de monto:
𝑀 = 36,331.7 = 32,765(1 + 0.013)𝑡
Despejando:
36331.7
32765
= 1.109 = (1 + 0.013)𝑡
Obteniendo el logaritmo natural:
ln 1.109 = ln(1 + 0.013)𝑡
Esto equivale a:
ln 1.109 = 𝑡 ln(1 + 0.013)
Donde:
𝑡 =
ln(1.109)
ln(1+0.013)
=
0.1033
0.0129
= 8
El tiempo transcurrido es de 8 meses.
Ejemplo 3
Se devuelven $9,151.11 el 30 de noviembre por un préstamo de $9,000 a una tasa del 
1.8% mensual, ¿en qué fecha se realizó el préstamo? Teniendo como única incógnita el 
tiempo, la ecuación quedaría:
𝑀 = 9,151.11 = 9,000(1 + 0.018)𝑡
Despejando: 
9151.11
9000
= (1.018)𝑡
Obteniendo el logaritmo natural:
𝐼𝑛(1.0168) = 𝑡 𝐼𝑛(1.018)
Dónde: 
𝑡 =
ln(1.0168)
ln(1.018)
=
0.01665
0.01784
= 0.93333
Sabemos que la tasa es mensual, por lo que convirtiendo esta fracción a días tenemos:
(0.93333380)(30) = 28
El préstamo se realizó 28 días antes del 30 de noviembre, es decir, el 2 de noviembre.
“
Como se vio en el bloque, el interés generado por un capital “C”, en un determinado tiempo “t”, a una tasa de
interés “i” por periodo, estos intereses pasan a ser parte del capital, generando a la vez interés en el siguiente
periodo de tiempo.
En conclusión, es el tema es muy importante para la vida cotidiana, debido a que nos ayuda a resolver cuentas
que se deben pagar ya sean de asunto personal como financiero.
Conclusión