Vectores

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Módulo 1
Vectores
Instituto de Fisica Universidad Católica de Valparaíso
Instituto de Física Universidad Católica de Valparaíso
1
Existen cantidades físicas que quedan totalmente determinadas por su magnitud o tamaño, indicada en alguna unidad conveniente.
Dichas cantidades se llaman: ESCALARES
Son ejemplos de cantidades escalares; el tiempo, la masa, la energía, la carga eléctrica, entre otras.
Otras cantidades físicas requieren para su completa determinación, que se añada una dirección a su magnitud.
Dichas cantidades se llaman VECTORES.
Dentro de las cantidades vectoriales tenemos; el desplazamiento, la velocidad, aceleración, fuerza, entre otras.
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Gráficamente, un vector es representado por una flecha. La magnitud o módulo del vector es proporcional a la longitud de la flecha.
 El vector de la figura sería . La magnitud o módulo del vector se indica por , o simplemente A. 
 Un vector se acostumbra a denotar por una letra con una flecha sobre ella.
Si definiremos como el vector nulo.
 Igualdad de vectores:
Sean y dos vectores, entonces si y solo si tienen igual magnitud y dirección.
 Vector opuesto: 
 Sea un vector. Se llama vector opuesto de al vector que tiene la misma magnitud pero dirección opuesta que . Se designa por .
Suma de vectores
Se forma un tercer vector construyendo un triángulo con formando dos lados del triángulo, a continuación de .
El vector que va desde el origen de hasta el extremo de es definido como el vector suma 	 .
 Sean dos vectores.
Para calcular el módulo del vector suma se recurre al teorema del coseno:
Además haciendo uso del teorema del seno:
Sustracción de vectores
La diferencia de 2 vectores 		representada por 		 es un vector que sumado a reproduce el vector .
Cuadro Resumen
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Producto de un vector por un escalar
El producto de un vector 	por un escalar m es un vector con magnitud |m| veces la magnitud de 	y con la misma dirección u opuesta que la de , según si m es positivo o negativo.
Vector unitario
Es un vector que expresado en las unidades correspondientes, tiene magnitud uno.
Se acostumbra a representar por una letra con acento circunflejo:
Vector unitario
Cualquier vector puede ser representado como el producto de un vector unitario en la dirección de y la magnitud de .
O sea:
Componentes de un vector
Cualquier vector puede siempre considerarse como la suma de dos o mas vectores, siendo el numero de posibilidades infinito.
A cualquier conjunto de vectores que al sumarse den un vector se les llama los componentes de .
Componentes cartesianas
Si se considera un sistema cartesiano XYZ, cualquier vector en el espacio podrá ser considerado como la suma de 3 vectores en la dirección X,Y,Z que se llamaran respectivamente.
Si se llaman a los tres vectores unitarios en las direcciones X, Y, Z respectivamente, entonces:
Es decir: 
 El modulo de estaría dado por:
Por lo tanto un vector en el espacio, podrá escribirse siempre en la forma:
Producto punto o escalar entre vectores
El producto escalar de los vectores representado por el símbolo , se define como el producto de las magnitudes de y con el coseno del ángulo entre los dos vectores. Se llama escalar, porque el resultado por definición es una magnitud escalar.
Obviamente:
De la definición se puede ver que:
Si:
Entonces:
Notese que:
Producto cruz o vectorial entre vectores
El producto vectorial de dos vectores representado por el símbolo ,es definido, como un vector cuyo módulo es el producto de las magnitudes de con el seno del ángulo entre los dos vectores.
 La dirección del vector es perpendicular al plano formado por de tal manera que y 	forman un sistema dextrógiro (regla de la mano derecha).
 En que es un vector unitario que indica la dirección de .
Obviamente:
De la definición sigue que:
Si:
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A
r
A
r
B
r
0
AA
º=
r
A
r
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=
r
r
A
-
r
AB
+
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r
B
A
r
r
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a
d
b
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r
222
2cos
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b
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SAB
sensensen
bda
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S
r
()
ABAB
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rr
rr
B
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-
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r
D
r
D
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mA
×
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3
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r
2
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n
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x
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j
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AAA
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z
x
y
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rrrr
k
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j
ˆ
 
,
ˆ
i
k
A
A
j
A
A
i
A
A
z
z
y
y
x
x
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r
r
k
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j
A
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A
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y
x
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ˆ
ˆ
+
+
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r
2
2
2
z
y
x
A
A
A
A
+
+
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B
A
r
r
×
q
cos
ABAB
q
×=
r
r
A
B
B
A
r
r
r
r
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1
ˆ
ˆ
ˆ
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ˆ
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×
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×
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k
k
j
j
i
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0
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ˆ
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×
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×
i
k
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j
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j
B
i
B
B
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j
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i
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A
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y
x
z
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z
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y
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x
B
A
B
A
B
A
B
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r
2
2
2
2
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A
A
A
A
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z
y
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+
+
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×
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B
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B
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r
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B
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B
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(
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B
B
A
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r
r
r
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k
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j
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k
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k
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z
y
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z
y
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B
B
B
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A
A
k
j
i
B
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r
r