Práctica_2_DS

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Práctica 2 
Instituto Tecnológico de la Laguna 
Dinámica de Sistemas 
Tema 2: Introducción a la modelación de sistemas 
Mecatrónica 
Fecha: 21 de mayo de 2021 
Instrucciones: Resuelva de manera individual los siguientes ejercicios usando MATLAB. 
 
A) Solución numérica de ecuaciones diferenciales. 
 
MATLAB proporciona otros dos comandos para resolver ecuaciones diferenciales que 
son el ODE23 y ODE45, el primero usa métodos de Runge-Kutta de segundo y tercer 
orden mientras que el ODE 45 usa el mismo método, pero de cuarto y quinto orden. 
 
Para ejemplificar, resolvemos la ecuación diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑦𝑡, para ello, se escribirá 
una función (script) en Matlab que tendrá dentro de su código, dicha ecuación 
diferencial. El script se guardará como dy.m. 
 
Luego en la ventana de comandos de MATLAB se escribe el siguiente código donde se 
manda llamar a la función para poder obtener la gráfica de la solución particular. 
 
La cual produce la gráfica 
 
 
La sintaxis del ODE45 es 
[𝑡, 𝑦] = 𝑂𝐷𝐸45(𝐹[𝑡𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙], 𝑌0) 
 
Se le siguiere al estudiante realizar el ejemplo anterior pero ahora con la instrucción 
ODE23. 
 
 
Produciendo la siguiente gráfica 
 
 
 
B) Use SIMULINK, para resolver los siguientes problemas: 
 
1. Use SIMULINK para resolver la ecuación diferencial dada por 
𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒−𝑡 
Con condiciones iniciales 𝑦(0) = 2 y 𝑦′(0) = 3 
 
Solución: 
 
Para generar la función exponencial usaremos el bloque FCN que es una función 
definida por el usuario, que precisamente se encuentra dentro de la librería de 
funciones definidas por el usuario, además agregaremos un reloj (Clock) que se 
encuentra dentro de la librería de Sources del SiMULINK, el procedimiento para 
resolver la ecuación diferencial será el mismo que se realizó en el ejemplo visto en 
clase. Dentro del bloque FCN, se generará la función 𝑒−𝑡 escribiéndola como exp (−𝑢) 
dentro de las propiedades del bloque, donde la entrada u será el reloj que se pone 
antes del bloque FCN, la simulación se ejecuta sólo por 7 segundos, suficientes para 
que la señal de respuesta llegue a cero. Recuerde modificar también las condiciones 
iniciales de los integradores para el primero se pone un 3 y para el segundo (el que 
está conectado al Scope) se pone un 2. 
 
 
 
2. Suponga que tiene un circuito LC (circuito tanque) el cual está siendo excitado 
mediante una señal impulso unitario 𝑣𝑖(𝑡) = 𝛿(𝑡). Los parámetros del circuito son L = 
0.25 H y C = 0.01 F, con condiciones iniciales cero. La ecuación diferencial de este 
circuito está dada por: 
 
 
𝐿
𝑑2
𝑑𝑡
𝑞 +
1
𝐶
𝑞 = 𝑣𝑖(𝑡). 
 
Use SIMULINK para resolver la ecuación diferencial, considerando condiciones 
iniciales cero y encontrar el voltaje de salida de dicho circuito. 
𝑞′′ + 400𝑞 = 4𝛿(𝑡) 
 
Solución: 
Primero se debe despejar la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial para 
empezar a hacer el diagrama en SIMULINK. 
𝑞′′ = 4𝛿(𝑡) − 400𝑞 
 
Para simular el impulso en SIMULINK, se restarán dos escalones (steps, que se 
encuentran en la librería de Sources), modificando al primer bloque las propiedades 
Step time = 0, y Final value = 100, para el segundo step se modifican las propiedades 
Step time = 0.01y Final value = 100. Recuerde que el voltaje de salida se mide en el 
capacitor, y al resolver la ecuación diferencial lo que se obtiene es la carga por lo que 
al final la carga deberá multiplicarse por 
1
𝐶
=
1
0.01
= 100 , para luego visualizar el 
Scope. 
 
Para apreciar mejor la respuesta de salida, sólo se usará un tiempo de simulación de 
1 segundo. 
 
 
3. Se pretende realizar en SIMULINK un diagrama de simulación para un péndulo 
lineal sin fricción, y graficar la velocidad y posición angular en un solo scope. cuya 
ecuación diferencial es: 
𝑑2
𝑑𝑡
𝜃 +
𝑔
𝑙
𝜃 = 0 
 
 
 
 
 
Despejando la derivada, la ecuación a simular quedaría: 
 
𝑑2
𝑑𝑡
𝜃 = −
𝑔
𝑙
𝜃 
Para realizar el diagrama, cuando se arrastre el Scope a la hoja de trabajo de 
SIMULINK, pedirá el número de entradas en el recuadro inferior, ahí debemos 
colocar un 2. 
Realizando la simulación durante 15 segundos, (recuerde establecer las 
condiciones iniciales en los integradores) el diagrama y la respuesta quedan como: 
 
Considere que la longitud del péndulo es de 0.6 
metros y que la masa es de 1 kilogramo. Las 
condiciones iniciales son: 𝜃(0) = 0.1745 y 
𝜃′(0) = 0 . Para este caso se considera que el 
modelo se ha linealizado para un ángulo de 
desviación muy pequeño. 
 
 
La gráfica en color amarillo es la velocidad angular, mientras que la gráfica en azul es 
la posición angular. 
 
4. Resuelva el problema anterior, considerando el modelo matemático del péndulo 
como un modelo no lineal. 
𝑑2
𝑑𝑡2
𝜃 +
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Despejando la derivada, la ecuación a simular sería: 
𝑑2
𝑑𝑡2
𝜃 = −
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛 𝜃 
Para simular la función senoidal, se usará el bloque FCN (usado en ejemplos 
anteriores) El bloque FCN se encuentra en User-Defined Functions. 
 
Se puede usar como base el modelo anterior, solo hay que agregar el bloque FCN, y 
modificar las condiciones iniciales, quedando el diagrama como se muestra a 
Considere que la longitud del péndulo es 
de 0.6 metros y que la masa es de 1 
kilogramo. Las condiciones iniciales son: 
𝜃(0) = 
π
4
 y 𝜃′(0) = 0 
continuación. 
 
Simulando durante 15 segundos, la respuesta queda como se muestra en la siguiente 
gráfica, donde la curva en amarillo es la velocidad angular, y la gráfica en azul es la 
posición angular. 
 
 
Tarea: 
1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando la instrucción de MATLAB 
ode23 o la instrucción ode45. 
a. 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑦𝑡 𝑦(0) = 1 𝑡 ∈ [0,2] 
 
Se escribe la función en el script 
 
 
Luego, en el Command Window 
 
 
Produciendo la siguiente gráfica 
 
 
b. 𝑦′ = 𝑡𝑦2 𝑦(0) = −2 𝑡 ∈ [0,4] 
Se escribe la función en el script 
 
 
 
Luego, en el Command Window 
 
 
Finalmente, se obtiene la gráfica que se muestra 
 
 
c. 𝑦′ = 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑦(0) =
𝜋
4
 𝑡 ∈ [0,10] 
 
Primero, se escribe la función en el script 
 
 
Luego, en el Command Window 
 
 
 
Finalmente, se obtiene la gráfica que se muestra 
 
 
2. Para el siguiente circuito: 
 
 
a) Determine la carga que presentara el siguiente circuito RLC (usando el comando 
de dsolve del MATLAB), si tiene las siguientes características: R = 2Ω, L = 1 H, C = 0.25 
F y 𝑬(𝒕) = 𝟓𝟎 𝒔𝒆𝒏(𝒕). Considere que al inicio tanto la corriente como la carga son 
cero. 
 
Primero que nada, planteamos la ecuación diferencial. 
 
𝐿 
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑞 + 𝑅
𝑑
𝑑𝑡
𝑞 +
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡) 
Sustituyendo los valores 
1 
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑞 + 2
𝑑
𝑑𝑡
𝑞 +
1
0.25
𝑞 = 50 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
Y, se tiene 
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑞 + 2
𝑑
𝑑𝑡
𝑞 + 4 𝑞 = 50 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 
�̈� + 2�̇� + 4 𝑞 = 50 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 
 
Ingresando estos valores al dsolve, tenemos: 
 
dsolve('D2q+2*Dq+4*q = 50 *sin(t)','q(0)=0','Dq(0)=0') 
ans = 
(100*exp(-t)*cos(3^(1/2)*t))/13 - cos(3^(1/2)*t)*((50*cos(t + 3^(1/2)*t))/13 + 
(50*cos(t - 3^(1/2)*t))/13 
- (75*sin(t + 3^(1/2)*t))/13 - (75*sin(t - 3^(1/2)*t))/13 - (125*3^(1/2)*cos(t + 
3^(1/2)*t))/39 
+ (125*3^(1/2)*cos(t - 3^(1/2)*t))/39 + (25*3^(1/2)*sin(t + 3^(1/2)*t))/39 - 
(25*3^(1/2)*sin(t - 3^(1/2)*t))/39) 
- (25*3^(1/2)*sin(3^(1/2)*t)*((sin(t*(3^(1/2) - 1)) - cos(t*(3^(1/2) - 1))*(3^(1/2) - 
1))/((3^(1/2) - 1)^2 + 1) 
- (sin(t*(3^(1/2) + 1)) - cos(t*(3^(1/2) + 1))*(3^(1/2) + 1))/((3^(1/2) + 1)^2 + 1)))/3 
+ (50*3^(1/2)*exp(-t)*sin(3^(1/2)*t))/(3*(2*3^(1/2) - 5)*(2*3^(1/2) + 5)) 
 
simplify (ans) 
ans = (150*sin(t))/13 - (100*cos(t))/13 + (100*exp(-t)*cos(3^(1/2)*t))/13 - 
(50*3^(1/2)*exp(-t)*sin(3^(1/2)*t))/39 
 
“Embelleciéndolo“ manualmente, se tiene 
𝒂𝒏𝒔 = 𝒒(𝒕) = 
𝟏𝟓𝟎 𝒔𝒆𝒏 (𝒕)
𝟏𝟑
−
𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝒕)
𝟏𝟑
+
𝟏𝟎𝟎𝒆−𝒕 𝐜𝐨𝐬(√𝟑𝒕)
𝟏𝟑
−
𝟓𝟎√𝟑𝒆−𝒕 𝐬𝐞𝐧(√𝟑𝒕)
𝟑𝟗
 
 
b) ¿De quétipo de circuito se trata? Utilizando el termino discriminante para este 
circuito. Este cálculo se puede hacer en calculadora. 
 
Para esto, tenemos que comparar el discriminante. Como ya se vio en clase, dentro de 
la raíz, tendríamos los siguientes valores: 
𝑅2 −
4𝐿
𝐶
 
Sustituyendo los valores de resistencia, capacitancia e inductancia, se tiene 
22 −
4(1)
0.25
 
4 − 16 
−12 
 
Entonces, dado que 
𝑅2 −
4𝐿
𝐶
< 0 
Se trata de un sistema subamortiguado, el cual tendrá raíces complejas conjugadas. 
 
 
c) Grafique la carga y luego la corriente que circula por el circuito, después de 
haber utilizado las condiciones iniciales. (Todo de manera simbólica usando el 
comando ezplot) 
 
 
 
Graficando, primero, la carga 
 
syms t; 
q = (150*sin(t))/13 - (100*cos(t))/13 + (100*exp(-t)*cos(3^(1/2)*t))/13 - 
(50*3^(1/2)*exp(-t)*sin(3^(1/2)*t))/39; 
i=int(q,t); 
ezplot(q) 
grid 
 
 
Ajustando la gráfica a los valores de interés 
 
 
 
Luego, graficando la corriente 
 
ezplot(i) 
grid 
 
 
Ajustando a los valores de interés 
 
 
 
 
Colocando tanto la carga como la corriente en una sola gráfica 
 
ezplot(q) 
hold on; 
ezplot(i) 
 
 
Ajustando a los valores de interés 
 
 
d) Grafique en un mismo plot (de manera simbólica) del MATLAB el voltaje de entrada 
y el voltaje de salida (recuerde que este último se mide en el capacitor), y así verificar 
si la respuesta forzada se comporta como el voltaje de alimentación. 
 
Primero, hay que definir el voltaje de entrada E y el voltaje de salida Vo, que es el 
voltaje en el capacitor 
 
E = 50 * sin(t); 
Vo= (1/0.25)*q; 
ezplot(E) 
hold on; 
ezplot (Vo) 
grid 
legend( 'Voltaje entrada E','Voltaje salida Vo') 
 
Y, se observa que, efectivamente, el voltaje en la salida tiende a comportarse como el 
voltaje de la entrada. 
 
e) Resuelva la ecuación diferencial del circuito usando los comandos ODE23 y ODE45. 
Compare los resultados obtenidos en el inciso anterior. 
 
Para estos comandos, es necesario realizar un procedimiento un tanto distinto al 
realizado anteriormente. 
 
Tenemos la ecuación 
�̈� + 2�̇� + 4 𝑞 = 50 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 
Despejamos �̈� 
�̈� = 50 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) − 2�̇� − 4 𝑞 
 
Establecemos algunos estados 
𝑞1 = 𝑞(𝑡) 
𝑞2 = �̇�(𝑡) 
 
 
Derivando ambos estados 
�̇�1 = �̇� = 𝑞2 
�̇�2 = �̈� 
Esta última ecuación, a su vez, es 
�̇�2 = 50 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) − 2�̇� − 4 𝑞 
�̇�2 = 50 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) − 2𝑞2 − 4𝑞1 
 
Con estas ecuaciones, es posible resolver la ecuación diferencial, como se verá en 
seguida. 
 
Comenzando con ODE 45. 
 
Se escribe la función en el script 
 
 
Luego, en el Command Window 
 
 
 
Obteniendo la siguiente gráfica 
 
 
Prosiguiendo ODE 23. 
 
En el Script se tiene 
 
 
Y, en el Command Window 
 
 
 
Generando la siguiente gráfica 
 
 
Es posible apreciar cómo son muy similares entre sí las gráficas obtenidas con el 
comando ODE23, ODE45 y la gráfica que se obtuvo al resolver la ecuación diferencial 
para la carga q y graficarla mediante la herramienta ezplot. La única “diferencia”, la 
cual es muy poco perceptible, es que la realizada con ODE23 está un poco 
“linealizada”, lo cual se puede apenas alcanzar a notar cuando se realiza un “zoom” 
sobre la gráfica, debido al método numérico usado para su obtención. Esto también 
se ve, aunque casi nada, en la ODE 45. 
 
f) Compare resultados de manera gráfica, resolviendo la ecuación diferencial por 
medio de SIMULINK. 
 
En el Scope, se muestra la gráfica 
 
 
De igual manera, se sigue teniendo una gráfica muy similar a las ya plasmadas 
anteriormente. 
 
g) Use el SIMSCAPE de MATLAB para comparar los resultados obtenidos. 
 
Aquí, se obtiene la medición de la corriente del circuito, la cual pasa a un integrador 
para, de esa manera, obtener la carga. 
 
En el Scope, se muestra la gráfica 
 
 
Y, tal como las anteriores, todas son muy similares entre sí, incluso podrían ser iguales. 
Las “variaciones” que se podrían llegar a presentar estarían dadas por los métodos de 
integración que llega a utilizar Matlab para resolver las operaciones necesarias para 
mostrar las gráficas 
 
3. Un motor de corriente directa controlado en el inducido es usado em un sistema de control 
de posición de una antena. Dicho motor tiene los siguientes parámetros: 𝑅𝑎 = 400 Ω, 𝐿𝑎 =
0.002 𝐻, 𝐽 = 0.001 𝑘𝑔𝑚2, 𝐷 = 0.001 𝑁
𝑚
𝑟𝑎𝑑
𝑠
, 𝑘𝑏 = 0.14 
𝑉
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 y 𝑘𝑚 = 0.14 𝑁
𝑚
𝐴
. Determine 
la posición angular de la flecha del motor considerando condiciones iniciales cero, usando 
SIMULINK. 
 
a) Considere una función de excitación dada por 𝑣𝑡 = 3 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡) volts 
 
Para que el motor tenga una corriente de campo constante, el par interno del motor está 
dado por 
𝑻(𝒕) = 𝒌𝒎 𝒊𝒂 
 
Además, la tensión inducida en la armadura al tener corriente de campo constante es 
𝑒𝑎(𝑡) = 𝑘𝑚 𝜔(𝑡) 
𝒆𝒂(𝒕) = 𝒌𝒎 
𝒅
𝒅𝒕
𝜽(𝒕) 
 
Ahora, analizando el circuito de armadura 
𝑳𝒂
𝒅
𝒅𝒕
𝒊𝒂 + 𝑹𝒂𝒊𝒂 + 𝒆𝒂 = 𝒗𝒕 
 
Mientras que la ecuación para el par es 
𝑇(𝑡) = 𝐽 
𝑑
𝑑𝑡
𝜔(𝑡) + 𝐷𝜔 
𝑻(𝒕) = 𝑱 
𝒅𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝜽(𝒕) + 𝑫
𝒅
𝒅𝒕
𝜽(𝒕) 
 
Con base en estas cuatro ecuaciones resaltadas en negritas, se realiza álgebra, tal como se 
realizó en clase y se pudo admirar en los apuntes. Finalmente, luego del análisis 
algebraico, se tiene: 
𝑳𝒂 𝑱
𝒌𝒎
 
𝒅𝟑
𝒅𝒕𝟑
𝜽(𝒕) + (
𝑳𝒂 𝑫 + 𝑹𝒂 𝑱
𝒌𝒎
) 
𝒅𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝜽(𝒕) + (
𝑹𝒂 𝑫
𝒌𝒎
+ 𝒌𝒃)
𝒅
𝒅𝒕
𝜽(𝒕) = 𝒗𝒕 
 
O, utilizando el otro tipo de notación 
𝑳𝒂 𝑱
𝒌𝒎
 𝜽(𝒕)⃛ + (
𝑳𝒂 𝑫 + 𝑹𝒂 𝑱
𝒌𝒎
) 𝜽(𝒕)̈ + (
𝑹𝒂 𝑫
𝒌𝒎
+ 𝒌𝒃) 𝜽(𝒕)̇ = 𝒗𝒕 
 
Sustituyendo valores de todas las variables, excepto el voltaje de excitación 
(0.002)(0.001 )
0.14
 𝜃(𝑡)⃛ + (
(0.002)(0.001) + (400)(0.001 )
0.14
) 𝜃(𝑡)̈ + (
(400)(0.001)
0.14
+ 0.14) 𝜃(𝑡)̇
= 𝑣𝑡 
1
70000
 𝜃(𝑡)⃛ + 2.8572 𝜃(𝑡)̈ +
1049
350
 𝜃(𝑡)̇ = 𝑣𝑡 
 
Dividiendo toda la expresión entre el término que acompaña a (𝜃(𝑡)⃛ 
𝜃(𝑡)⃛ + 200001 𝜃(𝑡)̈ + 209800 𝜃(𝑡)̇ = 70000𝑣𝑡 
 
 
Despejando la derivada de mayor orden 
𝜽(𝒕)⃛ = 𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝒗𝒕 − 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 𝜽(𝒕)̈ − 𝟐𝟎𝟗𝟖𝟎𝟎 𝜽(𝒕)̇ 
 
Ahora, esta ecuación la ingresamos a SIMULINK, considerando, como señal de excitación a 
la mostrada en el inciso a: 𝑣𝑡 = 3 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡) 
𝜃(𝑡)⃛ = 70000(3 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)) − 200001 𝜃(𝑡)̈ − 209800 𝜃(𝑡)̇ 
𝜽(𝒕)⃛ = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝝅𝒕) − 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 𝜽(𝒕)̈ − 𝟐𝟎𝟗𝟖𝟎𝟎 𝜽(𝒕)̇ 
 
El diagrama de Simulink es 
 
En el Scope, podemos apreciar la posición angular de la flecha del motor. 
 
b) Ahora, considere la entrada como la función que se muestra en la figura. 
 
 
Primero, para construir esta función mediante el Signal Generator, debemos conocer su 
frecuencia. Podemos observar que el ciclo se repite cada 4 segundos. Es decir, se tiene un 
periodo T=4. 
 
Por tanto, la frecuencia es 
𝑓 =
1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
4 𝑠
 
𝑓 = 0.25 𝐻𝑧 
 
Y, dentro del Signal Generator colocamos esta frecuencia y generamos una señal cuadrada 
con una amplitud de 10 
 
 
Para este inciso, cambiamos la señal de entrada de la ecuación despejada para 𝜃(𝑡)⃛ 
𝜽(𝒕)⃛ = 𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝒗𝒕 − 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 𝜽(𝒕)̈ − 𝟐𝟎𝟗𝟖𝟎𝟎 𝜽(𝒕)̇ 
 
Donde 𝒗𝒕 es la señal que fue mostrada en la figura. 
 
El diagrama en Simulink es 
 
 
La señal de entrada se ve de la siguiente manera: 
 
 
Mientras que la posición angular de la flecha del motor resulta como 
 
 
 
4. Obtenga un modelo matemático para el siguiente sistema sabiendo que 𝑎 = 0.48𝑚, 𝑙 = 
0.85m, 𝑚 = 1𝐾𝑔 y 𝑘 = 1.6 𝑁/𝑚. 
a) Considere que el ángulo 𝜃 es muy pequeño para que el modelo sea lineal (el modelo se 
obtiene a mano). 
b) Modele el sistema no lineal (el modelo se obtiene a mano). 
 
 
 
 
c) Haga un diagrama de simulación en SIMULINK para el inciso a) de este problema, 
graficando la posición angular, así como la velocidad en el mismo Scope, usando 
como condiciones iniciales 𝜃(0) = 
π
3
 y 𝜃′(0)= 0. 
 
Usando la ecuación obtenida: �̈� = −12.5616 𝜃 
 
El diagrama en Simulink es el siguiente 
 
Y, la gráfica en el Scope es 
 
 
Donde la señal azul es la posición angular y la señal en amarillo es la velocidad angular. 
d) Haga un diagrama de simulación en SIMULINK para el inciso b) de este problema, 
graficando la posición angular, así como la velocidad en el mismo Scope, usando como 
condiciones iniciales. 𝜃(0) = 
π
4
 y 𝜃′(0) = 0 
 
Usando la ecuación obtenida: �̈� = −11.5412 𝑠𝑒𝑛 (𝜃) − 0.5102 𝑠𝑒𝑛 (2𝜃) 
 
El diagrama en Simulink se ve de la siguiente manera 
 
Y, la gráfica en el Scope se muestra a continuación 
 
Donde la señal azul es la posición angular y la señal en amarillo es la velocidad angular. 
 
e) Explique las diferencias entre los resultados obtenidos. 
 
Las gráficas, a simple vista, tienen la misma forma de onda y se ven muy similares entre 
sí. Pero no lo son tanto, al menos en este caso, ya que la “linealizada” tiene una unidad 
más de amplitud, hablando en la velocidad (amarillo), mientras que en la posición tiene 
una amplitud mayor que la de la no linealizada en aproximadamente 0.3 unidades. 
Sin embargo, estas variaciones no se deben, en gran medida, a la linealización, sino a 
las condiciones iniciales planteadas en el problema, ya que su posición inicial es 
diferente: 
π
3
 en el sistema lineal y 
π
4
 en el no lineal. 
Lo interesante sería observar el comportamiento cuando se tienen las mismas 
condiciones iniciales en ambos sistemas. 
 
Por ejemplo, si se graficara esta última función con las condiciones iniciales del inciso c, 
es decir, con las condiciones iniciales del sistema lineal: 𝜃 =
π
3
, tenemos la siguiente 
gráfica en el Scope 
 
 
Y, esta ya es muy similar a la obtenida en el inciso c, sin demasiada variación. Se puede 
observar que prácticamente no hay diferencia visible entre esta gráfica y la anterior. Por 
esta razón es muy común linealizar este tipo de sistemas, además de que, regularmente, 
se trabaja con ángulos muy pequeños, tal como lo establece el inciso a de este 
problema. 
 
5. Considere el siguiente sistema mecánico de dos grados de libertad que se muestra en la 
figura. Obtenga el modelo matemático a mano, si 𝑚1 = 𝑚2 = 5 𝑘𝑔, 𝑘1 = 2000 𝑁/𝑚 y 𝑘2 = 
4000 𝑁/𝑚. Asuma que las condiciones iniciales son: 𝑥1(0) = 0, 𝑥2(0) = 0 y 𝑥′1(0) = 1, 
𝑥′2(0) = 0. 
 
Construya un modelo en SIMSCAPE del sistema físico para medir los desplazamientos que 
experimentan cada una de las masas. 
 
 
 
El modelo en SIMSCAPE queda de la siguiente manera 
 
Donde, en los Motion Sensor se colocan las condiciones iniciales de posición, Mientras 
que las condiciones iniciales de la velocidad se colocan al hacer doble click sobre las masas. 
 
Durante un tiempo de 1 segundo, la gráfica de x1 queda de la siguiente manera 
 
 
 
Mientras que la de x2 resulta 
 
 
 
Observaciones y conclusiones 
 
Matlab resulta ser una herramienta muy útil para estudiantes de ingeniería. Gracias al desarrollo 
de esta práctica, fue posible adentrarse un poco más en lo que ya se había analizado en clase, 
hablando de Simscape y Simulink, además de “nuevos” comandos y de reforzar con lo que se 
estuvo trabajando en la unidad número 1. 
 
Hablando de estos puntos, fue posible tener una mejor comprensión de los comandos básicos 
vistos en la unidad 1, tales como el dsolve, que nos es de gran ayuda al resolver ecuaciones 
diferenciales. Una vez teniendo la respuesta, en este caso, la carga, pudo ser graficada, 
cuadriculada y ajustando sus límites, sus leyendas, títulos según fue necesario. Además de utilizar 
los comandos de integración, para el caso de la obtención de la corriente. 
 
Ahora, continuando con los comandos nuevos, estos fueron el ODE45 y el ODE23, los cuales 
ofrecen una alternativa más para la solución gráfica de una ecuación diferencial. Estas 
instrucciones trabajan mediante métodos numéricos, como ya fue mencionado. Por esta razón, 
algunas gráficas se ven un poco “linealizadas”, y no totalmente curvas como en la primera 
solución, por ejemplo. Sin embargo, ofrecen una muy buena alternativa para tener distintas 
maneras de resolver una misma ecuación 
 
Para el caso de Simulink, se presentó una alternativa bastante interesante, ya que podemos 
analizar el diagrama de bloques y, en él, se puede ver “paso a paso”, cómo pasa de una 
aceleración a una velocidad, mediante un integrador, y, posteriormente, de una velocidad a una 
posición, siempre existiendo la retroalimentación en caso de ser requerido. En el caso de 
Simscape, de igual manera, se tiene una representación gráfica, pero ahora mucho más cercano a l 
que sería físicamente ya que, en el caso eléctrico, tenemos los elementos tal como los conocemos 
en forma de diagrama, y, en el caso de mecánico, muy cercano a cómo se han estado llevando a 
cabo. En este caso, la “variación” que se tuvo respecto a lo que se vio en clase, fue la existencia de 
una condición inicial diferente de cero en la velocidad. Esto se resolvió mediante la introducción 
de la condición en la masa, dando doble click sobre ella y ajustando la velocidad inicial que esta 
tendría. 
 
En general, el software Matlab es una herramienta muy potente, pero, como cualquier cosa, es 
necesario saberla utilizar. A diferencia de la primera unidad, ahora ya se cuenta con un poco más 
de conocimiento acerca de este. Se espera seguir aprendiendo acerca de este programa para 
poder seguir ampliando nuestros horizontes en el ámbito de ingeniería, además de seguir 
practicando ya que, mientras más se práctica, mejores resultados se tienen.