Problemario 1

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Instituto Tecnológico 
de la Laguna 
Dinámica de sistemas 
Tema I= 
Marco matemático 
Problemario Grupal 
Equipo I=
19 de marzo de 2021 
Consldere l puntd de vision más alto del ojo huwaro que 
apcun ece n la fhcpra. La entrada Orut) la posian 
angular 
angular del go, con ambos poaclones deinidar resp-ecto 
a la de dec canco. n modelo idea para e movimento 
del ojo esto da1cto por 
del objetvoyla salida ee t) es la posiaõn 
o.1 
RUt)- 1.2 t-o.2)- o.2 T t-0.2) 
Darce Pt) es la roatón de dispcro de accdones poteraales 
del nervio ophco haua l mUs Culo cke ojo. 
Redva la ec. DiFerenaal 
pormedko de Laplace 
considercnco iniciales. aero 
et) 
y que er ult) (EALO 
NITAO) 
OeJETIVO Tt POSIaON PF 
DES CANSo 
er uL 
PLt) 2 uCt- 0.2)- 0.2u Le 0.3) 
o.1 e t) + Be Lt) - 1.2ult-0.2)- 0.2u L-0.) 
rOP LAPLA CE 
O.ls ee (S)+ OE =1.2 
(c)-1, 2 
e ()12 2e 
(1 10)5J 
1) 
et 
(S4lo)s 
1-e-tot 
s+0) s 
- t) 
1O0 u-o.3) -[O CE-o. 2) 
t)= 12 1- 
10 
OE Ct) 1 1Ot ult-0.2) o-O +3ut-a 3) 
El ojo votteca al objutivo seqón dl veso tadlo 2 
si un d intorvalo solictado, el ojo ve ad objeivo Lweao de n 
Pequeño instanie, este es d henpo ah qe la qratca soe 
de 
Scamed ath Camoca 
Utilizando software matemático (Mathcad), grafique la posición del ojo en un intervalo de tiempo dado 
por 0 < 𝑡 ≤ 2. 
E t( )
6
5
6
5
e
10− t 0.2−( )
−






 t 0.2−( )
1
5
1
5
e
10− t 0.3−( )
−






 t 0.3−( )−






 t( )  t 2−( )−( )=
2− 1− 0 1 2 3
0.5−
0.5
1
E t( )
t
Las Sigticntes cciaciones eplesentan sistems contintos, clasifiqje coda Uto_dle ellos.Com0 estable,iMal 
inahionte en cl fiempo, dinamico /o estahco. 
-0) Y(t)Exl-2) tAt2-t) Aineal, dilámico, inVatiante en el ticmgO 
Sehío estable si LAeA , Sitndo C Ung onstontc. ESto sutede cuondo, pot 
ecoelo, KlE)Et. 
AES Jingánico dehido a gue b Salida depeade de la Función.de catiada.en. dos yalalts di Shians de htmp0. 
ES inlatanit cn.cl itngo debido.a Que Si xtt) SE Cote en.el icngo,cntoaces. la seidl de aliuda tanbuda 
o hace 1a gve rsia detnde solo de la.catada: ilt-o)=xt-0:2)+Kl2-t ta) 
XEs lideal poalc Clmgle cl_eliadelo de sueetgasicion: YE)=TXtf =xt-2)txl2-6) 
Ti= Xat-2) txl2-) 
TiXit) tKalt)} =xilt-2)tz(t:2)txil-t)txal2-t)Thkltatt}E1Kt} +Tt} V 
TXat)}=xa(t-2)tzalet) 
-b) Y(6=[oste6)]X(E) Valiante en.el ficoeo, lincal, Josinico 
Scho estobe Si A6 es tha señal de entpda gle.convelge.a0, 2ot escmelo,e 
KES Jatianie mel tieneo dtbido a ale si XE) se otie en.el fieneo, el os3t) no tieie gotabr hacet lo 
hi gnoY eat lo tanto Alt-o)_ no_ploadufe Ylt-a). 
Alo es estáto debido q qie lo. Salida cn.cualauiet instnate de itagp t 00 degtade linitaneate dt la ettada 
XEG,Sno tonbuc) de cos(36). A b tauto,cs dinámico. 
Fs liocal_potaue CUbelc el ehiiteio de supetposi.cion:yIE)ETK(E}= os(et)1 X(E) 
Tixit= Lcstst)lx uft) Telti}=[ostst1 Xt) 
Tixi(t) tket) = [os (s¬)]x ]=[p:t]xi(t) t[osBt]X2lt 
Titttka(t}ET{X} HTkatth_ Y 
Un Sistebg ontinio pleoeta Ung lelación.cntada-salida doesla eot: y=T{k}x,Jenlestie pot ncdio del 
Phinceo de Supteosición qve el Sistema es no.lintal. 
TW-2, Tz- lethceo.Je supdteosicdh indlica: TWt z}=T{W +TZ 
TWtz(Wt2-V t22 tz2, ot l tanto: Wt2M2 tÉytz 
TWtz}#T{WA tT{ZAd sistena.cs no lixall 
Dados d Señales 
lt)= 2 (ut) - u t -1)] +1fult-1) - ult -2) ] 
Y lo epetta impulsiva 
hlt)= ult) -ult -2) 
Detexmine la conuo luaon, uando Piopiedades y fonsfornmada 
de Loplace 
Reicluiendo por el método de Propiedadel 
fCt) a hCt) 
2 
hltl = ult) - ult -2) Ft) = 2 [ult) - ult-1)]+ 
1[ult-1) - ult-2) J 
'fCt) = 2ultl- ult-1) -ult-2) 
Picpiecdades a USar 
d flt) ht) = ft) * hlt) 
dt 
fCt)*S t) = FCt) 
fe) * 8lt-o) f(t-a) 
h(t) = St)- S (t-2) 
Se opliCan las Siquiente) Propiedade 
.ft) * R(t)= [2 ult) 
- ult-) -ult-2)J* [S4) - 8 t-2)1 
= 2ut)-ult-1) -ult-2) - 2ult-2) +ult-3) +ult-4) 
= 2u tt)-ult-1) - 3 ult-2) t ult-3) tu lt-4) 
LO que e Obtuvo e la derivaidg ce la Onuolucion para 
Cbtener la onuducon Se debe Jflt) *nl 
yt)= 2 Jult) - Jut) 
- 3Jult-2) + Jult-3) +ult-4) dt 
9)- 2 ult) dt - Jutt-) dt - 3 Jult-2) dt + Jult-3) dt + Jult-a) dt 
tomulas Para inteqyar escalo 
Jultt dt= tut)) ult-a)dt = (t-a)ult-o) 
2tult) - (t-) ult-1) -3 (t-2) ult-2) + (t-3) ult-3) + (E -4) ult-4 
2esoluer Por la Transformaicl de Laplace 
FCE)= 2ult) -ult-1) -ult-2) ht) = ult) -ult-2) 
FO)-LL4): -- 
H(s)-f LhLt)] = .- e 
Se mutiplicon FO) t(s) 
FC) HO) = 2 es 2e 25 e-4s 
S2 S2 S2 S 
Simplifi(ondo téminos 
FCs) HCS) = s2 -ec2. - ea tesa+e 
Pava obtener yt) e necesdriO Obteneva hransfovmd dd 
IOuei sa de Laflace 
ytt) FS)-HG) = 2t ut) -(t-1) ult-) -3(-2) Llt-2) + (t-3)ult-3) + (t- 4) ult -4) 
. Considere los sigviente s señoles poro ottener lo copvolucion po0t el metodo gtaiO y por 
medio de lo ntegral de deFinicidn, 
e ots4 
h l o, otro cos
o tro coso 
xlE) ht) xIT) hT)
Muvnl 
hl-1) h(t-) 
Caso O Coso o<o< o o<EI 
x() 
h(T hI) 
vlu-) oNOT+ 0)ETt0)d 
yCt) 0 porot0 
Coso O<O<O 1KE2 yluye e) pao 
x( Caso O>0 && OKo t>2 E4<0- teu 
2tc4 
ht AxT 
h9 
JeMe)n lehaer-]ae 
yluee)eoryr le.*'li. ENE*jaee]oie 
vltle)* pore 2<tCH 
c4 2 t 2 
aso O> R& Coso 
4t<5 5<t 6 
A x(T) 1h 
yluoweale eNoUTieMOa"")Neo J 
vy e-") pto 4<5 ylt): - eIE-6) paro 5<t G 
-4> 
Caso O Entonces 
hT 
e-e 
- e)+e**lE-) 2 
t e t 
yl 
yly-)ola eo)")OeT t(t-6) 5 6 
otro cos 
e 
4 
yt)0 porot 6 
En escalones 
yt: e'vt) e'vt-i)- e'vtt+ evtt-i)+ e ult-)-e' ott-) e t-)ut-i)- e"vit-z) 2 
elt5)* }elt-5) e t-c)ut-5) + e (t-6) ult-6) 2 
e-oult-)|e -ut-2) e 
t- "-ul-9e-lt-6) 
-)"-ut-2) 
tt- e "-"ut-)[e-(t-o 
vto ot|4e -uoe-["ualute-2)| 
+ . Le et s)lt-5)e -)ult-G) 2 
vlt: utee -iut-).auta ute-) 
4 ut-s)lus)ute-c 
5-Cons dere gientes 
por elmélodo qrá fico 
de de finición. 
Seales pars obteaer 
la convolución 
Y por 
medio de ialegral 
OtE 04LLH 
X) 14t42 ht) otro caso
otro caso 
Representen do escolon es Como 
x)elut)- ult-9elull-) -uU-21] 
hCt)= eutt) - ull -4)] 
La Conv olución abrovis de laiabegral de definició
es 
Yce)= fuy * gt) FCr) g(t -T) dT 
E cte , x(t)= fL4) . 
Xe) elu lr) -u (T-)| uT-)-u lT-2] 
hlt)= gu) 
h(t-T) = e ult -T) - lt -T-4) 
Sust:tuvy en do en le integrel
YLFulr) -ulT-)] eu(t-i)- alT-1)]
. ut-T) -u (t-T-4)dr 
De Sacan las constantes y reo 
ltzon los 
pro dectes 
T:O TO T-4 
Y) e"u)ult-r)- a r) u (t-T-q) 
- ult-T) ult-1) + ult-T-4) u (T-)d 
T--4 
ult-T)u (T-1) - uCt-T)u (T-2) 
T 
ult-T-4) u (T-1) +ult-T-y) u (T-2) dT 
Tt 
T 2 
T 
T:t-4 
Iqualando los des fases a0, se cambian 
les indegre les liwites de 
.t-4 
Y)= e r - - - dr ult-1) 
eru(t- 4-1) 
dr ult-1) dr ult-2)- Arult-4-1) 
-4 
drult-4-2) 
lt-1) ult-4)- 
lt-4) 
-)t)- ( )ute-a 
e-1)ult-) - (0-2)ull-1) - (t-4-1)u ll-5) 
(t-4-2)uli-c) 
Ya) alt-4) 
-( t)( t-5) 
e(t-1)t-1) (t-2) «ll-2) 
- t-5)u (t-5) (-4) u (t -c) 
Dca come ban do: 
--)Y (Ja0).( 
"(t-2).ll-2) uu-) 
/C--)u-s)et-4 u ll.4) 
Aphcando alabra para dijar cads Lirmino 
udesfost corespon ente: 
Con 
41-1
-t1+1 
Y: C (-))ult-1) 2 
-4-4 t+4-4 - -2)ult-2)+ uCt-) 
-5-5 -t*2+3-3 
e t+243-3 e-5)l5) 
2-4 
e (t-4) u (t-4) 
t- t-1) 
Yn-()u00 el -0- 
tt-)
-e(t-1) ult-2)e - (t-2) Lt -4) 
t-5) 
e-9) u (t-s) 
t-6) (-6) ult-C) 
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