Clase Calculo Diferencial Semana 1

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Semana 1 - Conceptos Básicos de Álgebra Lineal
Cálculo Diferencial
Ingenieŕıa Agroindustrial - UNT
Idea de un conjunto.
Consideraremos la noción de un conjunto como primitiva, es decir, sin dar una definición concisa
de este concepto (idea intuitiva).
• Si E es un conjunto, escribimos:
a ∈ E : a es un elemento del conjunto E.
• Escribimos E = {a, b, c} para indicar que E tiene exactamente los elementos a, b y c.
• Escribimos E = {a, b, . . .} para indicar que E se compone de los elementos a, b y otros.
Esto quiere decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera compo-
nente.
Otra forma de escribir un conjunto es la siguiente:
E = {proposición acerca de x},
la cual indica que E es el conjunto de los elementos x tales que la proposición acerca de x es
correcta.
Un conjunto y sus elementos están sometidos a las siguientes reglas:
a) Un conjunto E está bien definido (determinado) cuando se posee un criterio que permita
afirmar si un objeto “a”pertenece o no al mismo.
b) Un mismo ente matemático no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de ese
conjunto, es decir no es válido escribir a ∈ a.
c) La colección de todos los conjuntos no es un conjunto
d) Igualdad de conjuntos: Dos conjutos son iguales si tienen los mismo elementos.
e) La clase ∅ que no contiene ningún elemento es un conjunto.
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Aplicaciones:
Definición 1. Dados dos conjuntos A y B, una aplicación f : A → B es un criterio que
permite asociar a cada elemento a ∈ A un único elemento b ∈ B.
Escribimos b = f(a): b es la “imagen” por f de a
a es una “antiimagen” por f de b.
• A es llamado conjunto inicial de f y B es llamado conjunto final de f .
• f(A) = {f(a), a ∈ A} es llamado conjunto imagen y se denota por Im(f), Imf .
• f(∅) = ∅, donde ∅ representa al conjunto vaćıo.
• f−1(B) = {a ∈ A, f(a) ∈ B} es llamado la imagen inversa de B.
• f−1(∅) = ∅.
Ejemplo 1. Sea A = {a, b, c, d}. Entonces, f : A → A dada por f(a) = b, f(b) = d, f(c) = b y
f(d) = c es una aplicación.
Definición 2. Dos aplicaciones f, g son “iguales” si tienen el mismo conjunto inicial, el mismo
conjunto final y además f(a) = g(a), ∀a ∈ A.
Definición 3. Una aplicación f : A → B es llamada “sobreyectiva” si f(A) = B. La aplicación
se dirá inyectiva cuando a ̸= b implique f(a) ̸= f(b).
Definición 4. Una aplicación f : A → B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Observación. Si f : A → A es una aplicación biyectiva, entonces es llamada ua permutación
de A
Ejemplo 2. Sea A un conjunto no vaćıo y consideremos la aplicación f : A → P(A), dada por
f(a) = {a}. Entonces f es inyectiva pero no es sobreyectiva.
En efecto:
Se verifica a ̸= b ⇒ {a} ̸= {b} ⇒ f(a) ̸= f(b)
Por otro lado, no existe x ∈ A tal que f(x) = ∅ ∈ P(A). Luego, f no es sobreyectiva.
Por lo tanto, la aplicación f no es biyectiva.
Definición 5. Si f : A → B es biyectiva, la aplicación g : B → A dada por g(b) = a y tal que
f(a) = b es llamada “aplicación inversa de f” y se escribe f−1.
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Definición 6. Dada una aplicación f : A → B y un subconjunto A1 de A, la aplicación
f1 : A1 → B, dada por f1(a) = f(a), ∀ a ∈ A1 se llama restricción de f a A1 y se denota por
f |A1 .
Definición 7. Dadas dos aplicaciones f : A → B y g : B → C, la aplicación h : A → C,
definida por h(a) = g(f(a)), ∀ a ∈ A es llamada composición de f y g. Se denota por g ◦ f o
fg.
Ejercicio. Probar que la composición de dos permutaciones de A es también una permutación
de A.
Pares Ordenados.
Llamaremos un par ordenado, (a, b) a una colección de dos objetos a y b, donde a es llamado
primera componente y b, segunda componente. En general (a, b) ̸= (b, a).
Definición 8. Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de pares ordenados (a, b) tales que
a ∈ A y b ∈ B, se llama producto cartesiano de A y B. Se denota por A×B. Escribimos:
A×B = {(a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}.
RELACIONES BINARIAS.
Definición 9. Una relación binaria R entre A y B es una ley o criterio que permite señalar
ciertos pares ordenados del producto cartesiano A×B.
Propiedades.
1. Reflexiva: aRa, ∀ a ∈ A, (a, a) ∈ R.
2. Simétrica: Si aRb, entonces bRa, (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R.
3. Transitiva: Si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R.
4. Antisimétrica: Si (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, entonces a = b.
Una relación R en A es llamada una relación de equivalencia si satisface las propiedades 1), 2)
y 3), y es llamada una relación de orden si satisface las propiedades 1), 3) y 4).
Ejemplo 3. Sea f : A → B una aplicación de A en B. Se definne una relación de equivalencia
sobre A de la siguiente manera: Si a, b ∈ A, entonces (a, b) ∈ R siempre que se verifique
f(a) = f(b). Es decir,
R = {(a, b) / f(a) = f(b)}.
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Ejemplo 4. Sea Z el conjunto de los número enteros. Definimos en Z la relación:
R = {(x, y) ∈ Z× Z / x− y = 3m, m ∈ Z}.
Entonces R es una relación de equivalencia.
En efecto:
1. R es reflexiva: (x, x) ∈ R pues x− x = 0 = 3(0), ∀ x ∈ Z.
2. R es simétrica: (x, y) ∈ R ⇒ x − y = 3m ⇒ y − x = −3m = 3(−m) = 3m′, donde
m′ = −m ∈ Z. Entonces (y, x) ∈ R.
3. R es transitiva: (x, y) ∈ R ⇒ x− y = 3m, m ∈ Z.
(y, z) ∈ R ⇒ y − z = 3m′, m′ ∈ Z.
Luego, x−z = (x−y)+(y−z) = 3m+3m′ = 3(m+m′) = 3m′′, donde m′′ ∈ Z. Entonces
(x, z) ∈ R.
Por lo tanto, al satisfacer las tres propiedades, la relación R definida anteriormente, es una
relación de equivalencia.
Definición 10. Decimos que un conjunto A es ordenado (parcialmente ordenado) si existe una
relación de orden R sobre él.
Usualmente esta relación se denota por “≤”
Un conjunto A es totalmente ordenado si es ordenado y cumple lo siguiente: Dados a, b ∈ A,
se verifica a ≤ b o b ≤ a. Algunas veces es llamado una “cadena”.
Definición 11. Dado un conjunto ordenado A, definimos:
1. El conjunto mayorante (cota superior) de B ⊆ A : a ∈ A, b ≤ a, ∀ b ∈ B.
2. El conjunto minorante (cota inferior) de B ⊆ A : a ∈ A, a ≤ b, ∀ b ∈ B.
3. El máximo de A : a ∈ A, x ≤ a, ∀ x ∈ A.
4. El mı́nimo de A : a ∈ A, a ≤ x, ∀ x ∈ A.
5. Un maximal de A : a ∈ A tal que si existe b ∈ A con a ≤ b ⇒ a = b.
6. Un minimal de A : a ∈ A tal que si existe b ∈ A con b ≤ a ⇒ a = b.
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7. El supremo de B en A: menor cota superior (si existe) de B en A.
8. El ı́nfimo de B en A: mayor cota inferior (si existe) de B en A.
Lema de Zorn. Si A es un conjunto ordenado, no vaćıo, en el cual toda cadena de A tiene
una cota superior en A, entonces A posee al menos un elemento maximal.
Ejercicio. Si A = {1, 2, 3, 4}, probar que la relación:
R = {(a, b) ∈ A× A / a divide a b}
es una relación de orden.
Profesor: Asmat Uceda Rafael Marcel
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