Clase Calculo Diferencial Semana 2

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Semana 2 - Funciones
Cálculo Diferencial
Ingenieŕıa Agroindustrial - UNT
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo)
que nos permite asociar a cada elemento de A un único elemento en B.
Definición. Dados dos conjuntos A y B, la relación binaria, f , de A en B es llamada una
función de A en B si y sólo si verifica:
1. f ⊆ A×B
2. (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c
Esto quiere decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera compo-
nente.
Gráficamente:
f es función si b = c.
Notaciones:
1. Una función f de A en B se denota por: f : A → B ó A f−→B y se lee “f es una función de
A en B”. El conjunto A es llamado el conjunto de partida y el conjunto B, de llegada.
2. Si el par (a, b) ∈ f , escribimos b = f(a) y decimos que b es la imagen de “a´´ por f ó
b = f(a) es el valor de f en el punto a.
3. Si A = B = R, la función f : R → R es denominada una función real de variable real.
4. Por la parte 2. tenemos:
y = f(x) ⇔ (x, y) ∈ f,
donde y = f(x) se lee: “y es función de x´´ó “y es la imagen de x por f´´.
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5. Por la parte 4., la función f puede escribirse:
f = {(x, y) ∈ R× R / y = f(x)},
donde la ecuación y = f(x) es llamada regla de correspondencia.
Ejemplo: La relación R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 5)} no es una función, pues el elemento 2
tiene dos imágenes, es decir (2, 3) y (2, 5) ∈ f . Esto contradice la definición de función.
Definición Geométrica: f es una función ⇔ cualquier recta perpendicular al eje X corta a
la gráfica de f en un sólo punto, es decir, G(f) ∩ L = {P}.
Dominio y Rango de una función.
Sea f : A → B una función de A en B. El dominio de la función f es el conjunto Df formado
por todas sus primeras componentes, es decir,
Df = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x, y) ∈ f} ⊆ A
El rango de f es el conjunto Rf de las imágenes de todos los elementos de A mediante f , es
decir,
Rf = {x ∈ B / ∃ x ∈ A ∧ (x, y) ∈ f} ⊆ B
Ejemplo. Sea f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)}. Entonces, su dominio y rango son Df =
{1, 3, 5, 7} y Rf = {2, 4, 6, 8} respectivamente.
Observaciones:
1. El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda
tomar x, de tal manera que f(x) sea real, a menos que dicho dominio sea especificado.
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2. El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de y, luego
se analizan todos los valores posibles que pueda tomar y, de tal manera que x sea real.
Ejemplo. Hallar el dominio y rango de la función f(x) =
√
2 + x− x2.
Solución:
Tenemos y = f(x) =
√
2 + x− x2. Luego, y es real si 2 + x− x2 ≥ 0, de donde:
x2 − x− 2 ≤ 0 ⇔ (x− 2)(x+ 1) ≤ 0
Luego, el dominio es: Df = [−1, 2].
Ahora calculamos el rango: Como y =
√
2 + x− x2, y ≥ 0, entonces y2 = 2+x−x2. Despejando
x tenemos:
x =
1±
√
9− 4y2
2
Luego, x es real si 9− 4y2 ≥ 0, es decir, y2 ≤ 9
4
⇒ −3
2
≤ y ≤ 3
2
.
Por lo tanto, Rf = [0,+∞ > ∩
[
−3
2
,
3
2
]
=
[
0,
3
2
]
Ejemplo: Hallar el rango de la función f = x2 − 4x+ 7, x ∈ [2, 3].
Solución:
En este caso, el dominio ya está especificado, x ∈ [2, 3]. Para calcular el rango realizamos lo
siguiente:
y = f(x) = x2 − 4x+ 7. Luego despejamos x:
x =
4±
√
4y − 12
2
= 2±
√
y − 3
Como x ∈ [2, 3], entonces 2 ≤ 2 ±
√
y − 3 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ ±
√
y − 3 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ y − 3 ≤ 1. Luego,
y ∈ [3, 4] y por tanto, Rf = [3, 4].
Gráfica de funciones:
La gráfica de una función f es una ilustración del conjunto de puntos cuyas coordenadas (x, y)
satisfacen la relación y = f(x). Para dibujar la gráfica de una función se lista en una tabla
algunos puntos que satisfacen la relación y = f(x) y luego localizamos esos puntos en el plano
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cartesiano. Finalmente dibujamos una ĺınea (curva) que pase por esos puntos para obtener la
gráfica.
Ejemplo: Grafique la función y = x2 − 4.
Solución: Como Df = R, seleccionamos algunos valores del dominio para x y determinamos
los valores correspondientes de y:
Ejemplo: Grafique la función y =
1
x
.
Solución: El dominio de f viene dado por R − {0}. Seleccionamos valores distintos de cero
para determinar los valores correspondientes de y. Trazaremos puntos a la izquierda y a la
derecha de x = 0. La gráfica tiene dos ramas como se observa en la figura a continuación.
Discusión de la Gráfica de una función:
Si una función tiene una regla de correspondencia muy compleja, determinar pares de puntos
no es suficiente para trazar su gráfica. En este caso, para trazar la gráfica de una función
y = f(x) utilizamos el siguiente criterio:
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1o Intersecciones con los Ejes Coordenados:
• Intersección con el eje X: G(f) ∩ Eje X = {(x, y) ∈ R2 / y = 0} = P . Esto quiere
decir que para hallar el punto P de intersección con el eje X se hace y = 0 en la ecuación
y = f(x).
• Intersección con el eje Y : G(f) ∩ Eje Y = {(x, y) ∈ R2 / x = 0} = Q. Esto quiere
decir que para hallar el punto Q de intersección con el eje Y se hace x = 0 en la ecuación
y = f(x).
2o Simetŕıa Respecto a los Ejes Coordenados:
• Simetŕıa respecto al eje Y : Existe simetŕıa con respecto al eje X si se verifica f(−x) =
f(x) (figura (a))
• Intersección respecto al Origen: Existe simetŕıa con respecto al origen si se verifica
f(x) = −f(−x) (figura (b))
3o Determinar Dominio y Rango de la función: (Ya se ha efectuado)
4o Determinar las Aśıntotas:
• Aśıntotas Verticales: La recta x = a es una aśıntota vertical de la función y = f(x)
si para cada (x, y) ∈ G(f), se tiene que para y bastante grande, la distancia de x a a es
muy pequeña. Las aśıntotas verticales se calculan cuando la función f viene dada por la
expresión: f(x) = g(x)
h(x)
, donde g y h son expresiones de x. Entonces las aśıntotas verticales
se obtienen de la ecuación h(x) = 0.
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• Aśıntotas horizontales: La recta y = b es una aśıntota horizontal de la función y = f(x)
si para cada (x, y) ∈ G(f), se tiene que para x bastante grande, la distancia de y a b es
muy pequeña. Para calcular las aśıntotas horizontales se despeja la variable x de la
expresión y = f(x), es decir, x = g(y)
h(y)
, donde g y h son expresiones de y. Entonces las
aśıntotas horizontales se obtienen de la ecuación h(y) = 0.
5o Tabulación:
Calculamos un número determinado de pares ordenados a partir de la ecuación y = f(x).
6o Trazado de la curva: Finalmente trazamos la curva uniendo los puntos tabulados.
Ejemplo: Discutir y graficar la función f(x) =
x
x− 2
Solución:
1o Intersección con los Ejes Coordenados:
• Con el eje X: Hacemos f(x) = 0, entonces x
x− 2
= 0 ⇒ x = 0.
• Con el eje Y : Hacemos x = 0, entonces y = 0.
2o Simetŕıas:
• Respecto al eje Y : Se debe verificar f(−x) = f(x). Sin embargo, − x
−x− 2
̸= x
x− 2
. Por
tanto, no hay simetŕıa respecto al eje Y .
• Respecto al Origen: Se debe verificar f(x) = −f(−x). Sin embargo −
(
x
−x− 2
)
=
x
−x− 2
̸= x
x− 2
. Por tanto, no hay simetŕıa respecto al origen.
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3o Determinar Dominio y Rango:
Por la definición de f , tenemos que su dominio es: Df = R− {2}.
Para calcular el rango despejamos la variable x y obtenemos: x =
2y
y − 1
. Luego, Rf = R−{1}.
4o Aśıntotas:
• Aśıntota Vertical: Tenemos y = x
x− 2
. Luego, la ecuación de la aśıntota vertical es
x = 2
• Aśıntota horizontal: Despejamos x y obtenemos x = 2y
y − 1
. Luego, la ecuación de la
aśıntota horizontal es y = 1
5o Tabulación:
x 0 1 3 4 -1 -2
y 0 -1 3 2 0.3 0.5
La gráfica de f se muestra a continuación:
Evaluación de una Función:
Consideremos una función f con regla de correspondencia y = f(x), x ∈ Df . Si x toma valores
espećıficos, por ejemplo x = x0, entonces y0 = f(x0) y se dice que la función ha sido evaluada.
Ejemplo: Si f(x) = 2x3 + x2 + x+ 2, el valor de f en el punto x = 2 es f(2), es decir:
f(2) = 2(2)3 + (2)2 + 2 + 2016 + 4 + 2 + 2 = 24.
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Ejemplo: Si f(x) = x2 + x+ 1, f(
√
y) = y +
√
y + 1.
Ejercicio: Si f(x) = 5x, probar que f(x+ y) = f(x)f(y) .
Funciones Definidas con Varias Reglas de Correspondencia:Si las funciones están definidas con dos o más reglas de correspondencia, su dominio y rango
se determinan de la siguiente forma:
Sea f definida por:
f(x) =
 f1(x), x ∈ Df1f2(x), x ∈ Df2 , donde Df1 ∩Df2 = ∅
el dominio de f se determinará aśı: Df = Df1 ∪Df2 y su rango viene dado por: Rf = Rf1 ∪Rf2 .
Esta forma de calcular el dominio y rango de una función con dos reglas de correspondencia,
se extiende a funciones de tres o más reglas de correspondencia.
Ejemplo: Calcular el dominio y rango de la función:
f(x) =
 2x+ 1, si x ≥ 1x2 − 2, si x < 0
Solución: Calculamos el dominio:
f(x) =
 f1(x) = 2x+ 1, si x ≥ 1f2(x) = x2 − 2, si x < 0 ⇒
 Df1 = [1,+∞)Df2 = (−∞, 0)
Luego, el dominio de f es: Df = Df1 ∪Df2 = [1,+∞) ∪ (−∞, 0) = (−∞, 0) ∪ [1,+∞).
Ahora calculamos el rango:
Si x ≥ 1 ⇒ y = 2x+ 1. Despejando x : x = y − 1
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≥ 1 ⇒ y ≥ 3 y por tanto, y ∈ [3,+∞).
Si x < 0 ⇒ y = x2 − 2. Despejando x : x = −
√
y + 2 < 0 ⇒
√
y + 2 > 0 ⇒ y > −2 y por
tanto, y ∈ (−2,+∞).
Luego, el rango de la función f viene dado po: Rf = (−2,+∞) ∪ [3,+∞) = (−2,+∞).
Profesor: Asmat Uceda Rafael Marcel
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