Calculo_Vectorial-25

Vista previa del material en texto

/
1.4.1 Definición de coordenadas polares
Para encontrar las coordenadas de un punto en el sistema de
coordenadas polares, considera la figura 1.17. El punto tiene
coordenadas cartesianas . El segmento de recta que conecta el
origen al punto mide la distancia desde el origen a y tiene una
longitud . El ángulo entre el eje x positivo y el segmento de recta
tiene la medida . Esta observación sugiere una correspondencia
natural entre el par de coordenadas y los valores y . Esta
correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares. Ten
en cuenta que cada punto en el plano cartesiano tiene dos valores (de
ahí el término par ordenado) asociado a él. En el sistema de
coordenadas polares, cada punto también tiene dos valores
asociados: y .
Usando la trigonometría del triángulo rectángulo, las siguientes
ecuaciones son verdaderas para el punto :
Por lo tanto
.
P
(x, y)
P P
r
θ
(x, y) r θ
r θ
P
cosθ = entonces x =
r
x
rcosθ
senθ = entonces  y =
r
y
rsenθ
r =2 x +2 y y tanθ =2
x
y
71
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap1/117.png
/
Figura 1.17 Un punto arbitrario en el plano cartesiano.
Por lo tanto, cada punto en el sistema de coordenadas
cartesianas se puede representar como un par ordenado en el
sistema de coordenadas polares. La primera coordenada se llama
coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada
angular. Cada punto en el plano se puede representar de esta forma.
Observa que la ecuación tiene un número infinito de
soluciones para cualquier par ordenado .
Sin embargo, si restringimos las soluciones a valores entre y ,
entonces podemos asignar una solución única al cuadrante en el que
se encuentra el punto original . Entonces el valor
correspondiente de es positivo, entonces .
(x, y)
(r, θ)
tanθ = y/x
(x, y)
0 2π
(x, y)
r r =2 x +2 y2
72
/
TEOREMA 1.4
Convertir puntos entre sistemas de coordenadas
Dado un punto en el plano con coordenadas cartesianas 
 y coordenadas polares , las siguientes fórmulas de
conversión son verdaderas:
Estas fórmulas se pueden utilizar para convertir de coordenadas
rectangulares a polares o de coordenadas polares a
rectangulares.
Conversión entre coordenadas
rectangulares y polares
Convierte cada uno de los siguientes puntos en coordenadas
polares.
P
(x, y) (r, θ)
x = rcosθ y y = rsinθ (1.7)
r =2 x +2 y y tanθ =2 .
x
y
(1.8)
a.(1, 1)
b.(−3, 4)
c.(0, 3)
d.(5 ,−5)3
73