Calculo_Vectorial-74

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Observa lo que esto significa para la dirección de . Si aplicamos
la regla de la mano derecha a , comenzamos con nuestros
dedos apuntando en la dirección de , luego doblamos nuestros
dedos hacia el vector . En este caso, el pulgar apunta en la dirección
opuesta de . (¡Intentalo!)
Anticommutatividad del producto cruz
Sean y . Calcula y y
grafícalos.
Figura 2.55. ¿Los productos cruz y están en la misma
dirección?
v × u
v × u
v
u
u× v
u = ⟨0, 2, 1⟩ v = ⟨3,−1, 0⟩ u× v v × u
u× v v × u
218
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Los productos cruz de los vectores unitarios y pueden ser útiles
para simplificar algunos cálculos. Una aplicación directa de la
definición muestra que
El producto cruz de dos vectores es un vector, por lo que cada uno de
estos productos da como resultado el vector cero, no el escalar 0.
Verifica los cálculos por tu cuenta.
Además, debido a que el producto cruz de dos vectores es ortogonal
a cada uno de estos vectores, sabemos que el producto cruz de y es
paralelo a . Del mismo modo, el producto vectorial de y es
paralelo a , y el producto vectorial de y es paralelo a . Podemos
usar la regla de la mano derecha para determinar la dirección de cada
producto. Entonces tenemos
Producto cruz de vectores unitarios
estándar
Encuentra 
i, j k
i× i = j× j = k× k = 0
i j
k i k
j j k i
i× j
j× k
k× i
= k
= i
= j
j× i
k× j
i× k
= −k
= −i
= −j
i× (j× k)
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Como hemos visto, el producto punto a menudo se llama producto
escalar porque da como resultado un escalar. El producto cruz da
como resultado un vector, por lo que a veces se denomina producto
vectorial. Estas operaciones son versiones de multiplicación de
vectores, pero tienen propiedades y aplicaciones muy diferentes.
Exploremos algunas propiedades del producto cruz. Probamos solo
algunos de ellos. Las pruebas de las otras propiedades se dejan como
ejercicios.
TEOREMA 2.6
Propiedades del producto cruz
Supongamos que y son vectores en el espacio, y que c es
un escalar.
Prueba
Para la propiedad i., queremos demostrar .
Tenemos
u,v w
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
u× v
u× (v +w)
c(u× v)
u× 0
v × v
u ⋅ (v ×w)
= −v × u (Anticommutativa)
= u× v + u×w (Distributiva)
= (cu) × v = u× (cv)
= 0× u (Producto cruz del vector cero)
= 0 Producto de un vector consigo mismo
= (u× v) ⋅w (Triple producto escalar)
u× v = −(v × u)
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