Calculo_Vectorial-87

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Por ejemplo, sea y puntos en una recta, y
sean y los vectores de posición
asociados. Además, sea . Queremos encontrar una
ecuación vectorial para el segmento de recta entre y . Usando 
como nuestro punto conocido en la recta, y 
 como la ecuación del vector direccional, con
la ecuación 2.12 obtenenmos
Usando las propiedades de los vectores:
Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta que pasa por y es
Recuerda que no queríamos la ecuación de la recta completa, solo el
segmento de recta entre y . Observa que cuando , tenemos 
, y cuando , tenemos . Por lo tanto, la ecuación
vectorial del segmento de recta entre y es
P (x , y , z )0 0 0 Q(x , y , z )1 1 1
p = ⟨x , y , z ⟩0 0 0 q = ⟨x , y , z ⟩1 1 1
r = ⟨x, y, z⟩
P Q P
=PQ
⟨x −x , y −y , z −z ⟩1 0 1 0 1 0
r = p+ t( )PQ
r = p+ t( )PQ
= ⟨x , y , z ⟩ + t⟨x −x , y −y , z −z ⟩0 0 0 1 0 1 0 1 0
= ⟨x , y , z ⟩ + t(⟨x , y , z ⟩−⟨x , y , z ⟩)0 0 0 1 1 1 0 0 0
= ⟨x , y , z ⟩ + t⟨x , y , z ⟩−t⟨x , y , z ⟩0 0 0 1 1 1 0 0 0
= (1−t)⟨x , y , z ⟩ + t⟨x , y , z ⟩0 0 0 1 1 1
= (1−t)p+ tq
P Q
r = (1−t)p+ tq
P Q t = 0
r = p t = 1 r = q
P Q
r = (1−t)p+ tq , 0 ≤ t ≤ 1 (2.15)
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Volviendo a la ecuación 2.12, también podemos encontrar
ecuaciones paramétricas para este segmento de recta. Tenemos
Entonces, las ecuaciones paramétricas son:
Ecuaciones paramétricas de un segmento
de recta
Encuentra las ecuaciones paramétricas del segmento de recta
entre los puntos y 
En la siguiente escena interactiva, puedes observar el segmento y, si
lo deseas, cambiar los valores de los puntos.
r = p+ t( )PQ
⟨x, y, z⟩ = ⟨x , y , z ⟩ + t⟨x −x , y −y , z −z ⟩0 0 0 1 0 1 0 1 0
= ⟨x + t(x −x ), y + t(y −y ), z + t(z −z )⟩0 1 0 0 1 0 0 1 0
x = x +0 t(x −x ), y =1 0 y +0 t(y −y ),1 0
z = z +0 t(z −z ), 0 ≤1 0 t ≤ 1 (2.16)
P (2, 1, 4) Q(3,−1, 3)
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2.6.2 Distancia entre un punto y una recta
Ya sabemos cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio.
Ahora ampliamos esta definición para describir la distancia entre un
punto y una recta en el espacio. Existen varios contextos del mundo
real cuando es importante poder calcular estas distancias.
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Juan Rivera
Sello