Calculo_Vectorial-89

Vista previa del material en texto

/
Figura 2.67. En tres dimensiones, es posible que dos rectas no se crucen,
incluso cuando tienen direcciones diferentes.
Para clasificar las rectas como paralelas pero no iguales, iguales,
intersectantes u oblicuas, necesitamos saber dos cosas: si los
vectores direccionales son paralelos y si las rectas comparten un
punto (Figura 2.68).
Figura 2.68. Determina la relación entre dos rectas en función de si sus
vectores direccionales son paralelos o si comparten un punto.
263
/
Clasificación de rectas en el espacio
Para cada par de rectas, determina si las rectas son iguales,
paralelas pero no iguales, oblicuas o intersectadas.
a. 
b. 
c. 
2.6.4 Ecuaciones para un plano
Sabemos que una recta está determinada por dos puntos. En otras
palabras, para dos puntos distintos, hay exactamente una recta que
pasa a través de esos puntos, ya sea en dos dimensiones o en tres. Del
mismo modo, dados tres puntos que no todos se encuentran en la
misma recta, hay un plano único que pasa por estos puntos. Así como
una recta está determinada por dos puntos, un plano está
determinado por tres.
Esta puede ser la forma más sencilla de caracterizar un plano, pero
también podemos usar otras descripciones. Por ejemplo, dadas dos
rectas distintas que se intersectan, hay exactamente un plano que
contiene ambas rectas.
L :1 x = 2s−1, y = s−1, z = s−4
L :2 x = t−3, y = 3t+ 8, z = 5−2t
L :1 x = −y = z
L :2 =2
x−3 y = z−2
L :1 x = 6s−1, y = −2s, z = 3s+ 1
L :2 =6
x−4 =−2
y+3
3
z−1
264
/
Un plano también está determinado por una recta y cualquier punto
que no se encuentre en la recta. Estas caracterizaciones surgen
naturalmente de la idea de que un plano está determinado por tres
puntos. Quizás la caracterización más sorprendente de un plano es
en realidad la más útil.
Imagina un par de vectores ortogonales que comparten un punto
inicial. Visualiza agarrando uno de los vectores y girándolo. A medida
que gira, el otro vector gira y barre un plano. Aquí, describimos ese
concepto matemáticamente. Sea un vector y 
 un punto. Entonces, el conjunto de todos los puntos 
 tal que es ortogonal a forma un plano (Figura 2.69).
Decimos que es un vector normal, o perpendicular al plano.
Recuerda, el producto escalar de los vectores ortogonales es cero.
Este hecho genera la ecuación vectorial de un plano: .
Reescribir esta ecuación proporciona formas adicionales de describir
el plano:
n = ⟨a, b, c⟩ P =
(x , y , z )0 0 0 Q =
(x, y, z) PQ n
n
n ⋅ =PQ 0
n ⋅ PQ
⟨a, b, c⟩ ⋅ ⟨x−x , y−y , z−z ⟩0 0 0
a(x−x ) + b(y−y ) + c(z−z )0 0 0
= 0
= 0
= 0
265
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap2/269.png