Calculo_Vectorial-91

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Figura 2.70. Queremos encontrar la distancia más corta desde el punto 
al plano. Sea el punto en el plano de modo que, para cualquier otro punto
en el plano , .
Así como encontramos la distancia bidimensional entre un punto y
una recta calculando la longitud de un segmento de recta
perpendicular a la recta, encontramos la distancia tridimensional
entre un punto y un plano calculando la longitud de un segmento de
recta perpendicular al plano. Sea el punto en el plano de modo que 
 sea ortogonal al plano, y sea un punto arbitrario en el plano.
Luego, la proyección del vector sobre el vector normal describe
el vector , como se muestra en la Figura 2.70.
P
R
Q <∥∥RP ∥∥ ∥∥QP ∥∥
R
RP Q
QP
RP
269
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TEOREMA 2.13
La distancia entre un plano y un punto
Suponga que un plano con el vector normal pasa a través del
punto . La distancia desde el plano hasta un punto que no
está en el plano viene dada por
Distancia entre un punto y un plano
Encuentre la distancia entre el punto y el plano
dado por (observa la primera figura de la página
siguiente).
2.6.5 Planos paralelos e intersectantes
Hemos discutido las diversas relaciones posibles entre dos rectas en
dos dimensiones y tres dimensiones. Cuando describimos la relación
entre dos planos en el espacio, solo tenemos dos posibilidades: los
dos planos distintos son paralelos o se intersecan. Cuando dos planos
son paralelos, sus vectores normales son paralelos. Cuando dos
planos se intersectan, la intersección es una recta (Figura 2.71).
n
Q d P
d = proy =
∥
∥
∥
∥
nQP
∥
∥
∥
∥
comp =
∣
∣
∣
∣
nQP
∣
∣
∣
∣
∥n∥
⋅ b∣∣QP ∣∣ (2.19)
P = (3, 1, 2)
x−2y + z = 5
270
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/imagenes/cap2/271.png
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Figura 2.71. La intersección de dos planos no paralelos es siempre una
recta.
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